Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2} - 3 x - 4}{x^{2} - 4 x + 5} < 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

$x^{2} - 4 x + 5 = 0$

Этап 2

Разложим $x^{2} - 3 x - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 4$ , а сумма — $- 3$ .

$- 4, 1$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 4) (x + 1) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 4

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 4.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 4, - 1$

Этап 7

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 8

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 4$ и $c = 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.1.2.2

Умножим $- 4$ на $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.1.3

Вычтем $20$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.1.4

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.1.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 9.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Этап 9.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Этап 9.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Этап 10

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 10.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 10.1.2.2

Умножим $- 4$ на $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 10.1.3

Вычтем $20$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 10.1.4

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 10.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 10.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 10.1.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 10.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 10.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Этап 10.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Этап 10.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Этап 10.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 2 + i$

Этап 11

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.1.2.2

Умножим $- 4$ на $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.1.3

Вычтем $20$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.1.4

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.1.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 11.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 11.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Этап 11.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Этап 11.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Этап 11.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 2 - i$

Этап 12

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 2 + i, 2 - i$

Этап 13

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 4, - 1$

$x = 2 + i, 2 - i$

Этап 14

Объединим решения.

$x = 4, - 1$

Этап 15

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 4$

$x > 4$

Этап 16

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 16.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 4)}^{2} - 3 \cdot - 4 - 4}{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 + 5} < 0$

Этап 16.1.3

Левая часть $0.\overline{648}$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 16.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 16.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 4}{{(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 5} < 0$

Этап 16.2.3

Левая часть $- 0.8$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 16.3

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 16.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(6)}^{2} - 3 \cdot 6 - 4}{{(6)}^{2} - 4 \cdot 6 + 5} < 0$

Этап 16.3.3

Левая часть $0.82352941$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 16.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

Этап 17

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 1 < x < 4$

Этап 18

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- 1, 4)$

Этап 19