Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 5}$ , $x = 2$

Этап 1

Рассмотрим формулу для отношений приращений.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = \sqrt{{(x + h)}^{2} + 5}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем ${(x + h)}^{2}$ в виде $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \sqrt{(x + h) (x + h) + 5}$

Этап 2.1.2.2

Развернем $(x + h) (x + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \sqrt{x (x + h) + h (x + h) + 5}$

Этап 2.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \sqrt{x \cdot x + x h + h (x + h) + 5}$

Этап 2.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x + h) = \sqrt{x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 5}$

Этап 2.1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 5}$

Этап 2.1.2.3.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + x h + h x + h^{2} + 5}$

Этап 2.1.2.3.2

Добавим $x h$ и $h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.2.1

Изменим порядок $x$ и $h$ .

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + h x + h x + h^{2} + 5}$

Этап 2.1.2.3.2.2

Добавим $h x$ и $h x$ .

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5}$

Этап 2.1.2.4

Окончательный ответ: $\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5}$ .

$\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5}$

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 5}$

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5}$

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 5}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5} - (\sqrt{x^{2} + 5})}{h}$

Этап 4

Умножим $- 1$ на $\sqrt{x^{2} + 5}$ .

$\frac{\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5} - \sqrt{x^{2} + 5}}{h}$

Этап 5

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + 2 h (2) + h^{2} + 5} - \sqrt{{(2)}^{2} + 5}}{h}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 h \cdot 2 + h^{2} + 5} - \sqrt{2^{2} + 5}}{h}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 h + h^{2} + 5} - \sqrt{2^{2} + 5}}{h}$

Этап 6.3

Добавим $4$ и $5$ .

$\frac{\sqrt{4 h + h^{2} + 9} - \sqrt{2^{2} + 5}}{h}$

Этап 6.4

Изменим порядок членов.

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - \sqrt{2^{2} + 5}}{h}$

Этап 6.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - \sqrt{4 + 5}}{h}$

Этап 6.6

Добавим $4$ и $5$ .

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - \sqrt{9}}{h}$

Этап 6.7

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - \sqrt{3^{2}}}{h}$

Этап 6.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - 1 \cdot 3}{h}$

Этап 6.9

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - 3}{h}$

Этап 7