Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x + 7$ , $f' (6)$

Этап 1

Найдем производную $f (x) = 3 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $3 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{2}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$9 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 5$ .

$9 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - 10 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$9 x^{2} - 10 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 1.4.3

Умножим $5$ на $1$ .

$9 x^{2} - 10 x + 5 + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$9 x^{2} - 10 x + 5 + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $9 x^{2} - 10 x + 5$ и $0$ .

$9 x^{2} - 10 x + 5$

Этап 2

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$9 {(6)}^{2} - 10 \cdot 6 + 5$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$9 \cdot 36 - 10 \cdot 6 + 5$

Этап 3.1.2

Умножим $9$ на $36$ .

$324 - 10 \cdot 6 + 5$

Этап 3.1.3

Умножим $- 10$ на $6$ .

$324 - 60 + 5$

Этап 3.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $60$ из $324$ .

$264 + 5$

Этап 3.2.2

Добавим $264$ и $5$ .

$269$