Математический анализ Примеры

$f (x) = 6 x^{2}$

Этап 1

Запишем $f (x) = 6 x^{2}$ в виде уравнения.

$y = 6 x^{2}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 6 y^{2}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $6 y^{2} = x$ .

$6 y^{2} = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $6 y^{2} = x$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $6 y^{2} = x$ на $6$ .

$\frac{6 y^{2}}{6} = \frac{x}{6}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 y^{2}}{6} = \frac{x}{6}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{6}$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{6}}$

Этап 3.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{x}{6}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{x}{6}}$ в виде $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{6}}$

Этап 3.4.2

Умножим $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Этап 3.4.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Этап 3.4.3.2

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Этап 3.4.3.3

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Этап 3.4.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Этап 3.4.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Этап 3.4.3.6

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.4.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.4.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Этап 3.4.3.6.5

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{6}}{6}$

Этап 3.4.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{x \cdot 6}}{6}$

Этап 3.4.5

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{x \cdot 6}}{6}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 x}}{6}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{6 x}}{6}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{6 x}}{6}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{6 x}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 x}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{6 x}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 x}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{6 x}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 x}}{6}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 x}}{6}, - \frac{\sqrt{6 x}}{6}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 x}}{6}, - \frac{\sqrt{6 x}}{6}$ обратной к $f (x) = 6 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = 6 x^{2}$ и $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 x}}{6}, - \frac{\sqrt{6 x}}{6}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = 6 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $\frac{\sqrt{6 x}}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{6 x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$6 x \geq 0$

Этап 5.3.2

Разделим каждый член $6 x \geq 0$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Разделим каждый член $6 x \geq 0$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} \geq \frac{0}{6}$

Этап 5.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} \geq \frac{0}{6}$

Этап 5.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{0}{6}$

Этап 5.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Разделим $0$ на $6$ .

$x \geq 0$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[0, \infty)$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (x) = 6 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 x}}{6}, - \frac{\sqrt{6 x}}{6}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = 6 x^{2}$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 x}}{6}, - \frac{\sqrt{6 x}}{6}$ , представляет область определения $f (x) = 6 x^{2}$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 x}}{6}, - \frac{\sqrt{6 x}}{6}$ — обратная к $f (x) = 6 x^{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 x}}{6}, - \frac{\sqrt{6 x}}{6}$

Этап 6