Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 e^{2 x} + 1$

Этап 1

Запишем $f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ в виде уравнения.

$y = 3 e^{2 x} + 1$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 3 e^{2 y} + 1$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $3 e^{2 y} + 1 = x$ .

$3 e^{2 y} + 1 = x$

Этап 3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 e^{2 y} = x - 1$

Этап 3.3

Разделим каждый член $3 e^{2 y} = x - 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $3 e^{2 y} = x - 1$ на $3$ .

$\frac{3 e^{2 y}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 e^{2 y}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $e^{2 y}$ на $1$ .

$e^{2 y} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{2 y} = \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 3.4

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 3.5

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Развернем $\ln (e^{2 y})$ , вынося $2 y$ из логарифма.

$2 y \ln (e) = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 3.5.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 3.5.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 3.6

Разделим каждый член $2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Разделим каждый член $2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Этап 3.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Этап 3.6.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ обратной к $f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \frac{\ln (\frac{3 e^{2 x} + 1}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Этап 5.2.3

Перепишем $\frac{\ln (\frac{3 e^{2 x} + 1}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3} (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$

Этап 5.2.4

Упростим $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3} (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x}) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.2.5.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 e^{2 x}$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 (e^{2 x})) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x}) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.2.5.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.2.6

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Объединим противоположные члены в $e^{2 x} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1 - 1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.2.6.1.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{0}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.2.6.1.3

Разделим $0$ на $3$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + 0)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.2.6.1.4

Добавим $e^{2 x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.2.6.2

Перемножим экспоненты в ${(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Этап 5.2.6.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 (x) (\frac{1}{2})})$

Этап 5.2.6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Этап 5.2.6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{x})$

Этап 5.2.7

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x$ из степени.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x \ln (e)$

Этап 5.2.8

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x \cdot 1$

Этап 5.2.9

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2})} + 1$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 1}{3})}{2})} + 1$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 1}{3})}{2})} + 1$

Этап 5.3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{\ln (\frac{x - 1}{3})} + 1$

Этап 5.3.3.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 (\frac{x - 1}{3}) + 1$

Этап 5.3.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 (\frac{x - 1}{3}) + 1$

Этап 5.3.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x - 1 + 1$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ — обратная к $f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$