Математический анализ Примеры

f (x) = 3 e^{2 x} + 1

$f (x) = 3 e^{2 x} + 1$

Этап 1

Запишем

$f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ в виде уравнения.

$y = 3 e^{2 x} + 1$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 3 e^{2 y} + 1$

Этап 3

Решим относительно

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде

$3 e^{2 y} + 1 = x$ .

$3 e^{2 y} + 1 = x$

Этап 3.2

Вычтем

$1$ из обеих частей уравнения.

$3 e^{2 y} = x - 1$

Этап 3.3

Разделим каждый член

$3 e^{2 y} = x - 1$ на

$3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член

$3 e^{2 y} = x - 1$ на

$3$ .

$\frac{3 e^{2 y}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 e^{2 y}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим

$e^{2 y}$ на

$1$ .

$e^{2 y} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{2 y} = \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 3.4

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 3.5

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Развернем

$\ln (e^{2 y})$ , вынося

$2 y$ из логарифма.

$2 y \ln (e) = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 3.5.2

Натуральный логарифм

$e$ равен

$1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 3.5.3

Умножим

$2$ на

$1$ .

$2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 3.6

Разделим каждый член

$2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$ на

$2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Разделим каждый член

$2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$ на

$2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Этап 3.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Этап 3.6.2.1.2

Разделим

$y$ на

$1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Этап 4

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ обратной к

$f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий

$f^{- 1} (f (x)) = x$ и

$f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение

$f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1)$ , подставив значение

$f$ в

$f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \frac{\ln (\frac{3 e^{2 x} + 1}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Этап 5.2.3

Перепишем

$\frac{\ln (\frac{3 e^{2 x} + 1}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ в виде

$\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3} (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$

Этап 5.2.4

Упростим

$\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3} (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$ путем переноса

$\frac{1}{2}$ под логарифм.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x}) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.2.5.2

Сократим общий множитель

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Вынесем множитель

$3$ из

$3 e^{2 x}$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 (e^{2 x})) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x}) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.2.5.3

Умножим

$\frac{1}{3}$ на

$1$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.2.6

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Объединим противоположные члены в

$e^{2 x} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1 - 1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.2.6.1.2

Вычтем

$1$ из

$1$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{0}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.2.6.1.3

Разделим

$0$ на

$3$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + 0)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.2.6.1.4

Добавим

$e^{2 x}$ и

$0$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.2.6.2

Перемножим экспоненты в

${(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Этап 5.2.6.2.2

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.2.2.1

Вынесем множитель

$2$ из

$2 x$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 (x) (\frac{1}{2})})$

Этап 5.2.6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Этап 5.2.6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{x})$

Этап 5.2.7

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести

$x$ из степени.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x \ln (e)$

Этап 5.2.8

Натуральный логарифм

$e$ равен

$1$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x \cdot 1$

Этап 5.2.9

Умножим

$x$ на

$1$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x$

Этап 5.3

Найдем значение

$f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2})$ , подставив значение

$f^{- 1}$ в

$f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2})} + 1$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 1}{3})}{2})} + 1$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 1}{3})}{2})} + 1$

Этап 5.3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{\ln (\frac{x - 1}{3})} + 1$

Этап 5.3.3.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 (\frac{x - 1}{3}) + 1$

Этап 5.3.3.3

Сократим общий множитель

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 (\frac{x - 1}{3}) + 1$

Этап 5.3.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x - 1 + 1$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в

$x - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим

$- 1$ и

$1$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим

$x$ и

$0$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x$

Этап 5.4

Так как

$f^{- 1} (f (x)) = x$ и

$f (f^{- 1} (x)) = x$ , то

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ — обратная к

$f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$