Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ в виде уравнения.

$y = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} = x$ .

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} = x$

Этап 3.2

Умножим обе части на $1 - e^{y}$ .

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} (1 - e^{y}) = x (1 - e^{y})$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $1 - e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} (1 - e^{y}) = x (1 - e^{y})$

Этап 3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$1 + e^{y} = x (1 - e^{y})$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим $x (1 - e^{y})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + e^{y} = x \cdot 1 + x (- e^{y})$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Умножим $x$ на $1$ .

$1 + e^{y} = x + x (- e^{y})$

Этап 3.3.2.1.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 + e^{y} = x - x e^{y}$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $x e^{y}$ к обеим частям уравнения.

$1 + e^{y} + x e^{y} = x$

Этап 3.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$e^{y} + x e^{y} = x - 1$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $e^{y}$ из $e^{y} + x e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Умножим на $1$ .

$e^{y} \cdot 1 + x e^{y} = x - 1$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $e^{y}$ из $x e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} x = x - 1$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $e^{y}$ из $e^{y} \cdot 1 + e^{y} x$ .

$e^{y} (1 + x) = x - 1$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $e^{y} (1 + x) = x - 1$ на $1 + x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $e^{y} (1 + x) = x - 1$ на $1 + x$ .

$\frac{e^{y} (1 + x)}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{y} (1 + x)}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $e^{y}$ на $1$ .

$e^{y} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{y} = \frac{x - 1}{1 + x}$

Этап 3.4.5

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Этап 3.4.6

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Развернем $\ln (e^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Этап 3.4.6.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Этап 3.4.6.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$ обратной к $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

Этап 5.2.3

Избавимся от скобок.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

Этап 5.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 - e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Умножим $\frac{\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}}$ на $\frac{1 - e^{x}}{1 - e^{x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 - e^{x}}{1 - e^{x}} \cdot \frac{\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

Этап 5.2.4.2

Объединим.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1)}{(1 - e^{x}) (1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Этап 5.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Этап 5.2.6

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Сократим общий множитель $1 - e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Этап 5.2.6.1.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Этап 5.2.6.2

Сократим общий множитель $1 - e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Этап 5.2.6.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Этап 5.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + 1 \cdot - 1 - e^{x} \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Этап 5.2.7.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 - e^{x} \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Этап 5.2.7.3

Умножим $- e^{x} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 + 1 e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Этап 5.2.7.3.2

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Этап 5.2.7.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{0 + e^{x} + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Этап 5.2.7.5

Добавим $0$ и $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Этап 5.2.7.6

Добавим $e^{x}$ и $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Этап 5.2.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Умножим $1 - e^{x}$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{1 - e^{x} + 1 + e^{x}})$

Этап 5.2.8.2

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2 - e^{x} + e^{x}})$

Этап 5.2.8.3

Добавим $- e^{x}$ и $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2 + 0})$

Этап 5.2.8.4

Добавим $2$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

Этап 5.2.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

Этап 5.2.9.2

Разделим $e^{x}$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (e^{x})$

Этап 5.2.10

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x$ из степени.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x \ln (e)$

Этап 5.2.11

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x \cdot 1$

Этап 5.2.12

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x}))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{1 + e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{1 + \frac{x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Этап 5.3.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x}{1 + x} + \frac{x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Этап 5.3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x + x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Этап 5.3.3.4

Изменим порядок членов.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + x + 1 - 1}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Этап 5.3.3.5

Перепишем $\frac{x + x + 1 - 1}{x + 1}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Добавим $x$ и $x$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 1 - 1}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Этап 5.3.3.5.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 0}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Этап 5.3.3.5.3

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Этап 5.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 - \frac{x - 1}{1 + x}}$

Этап 5.3.4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x}{1 + x} - \frac{x - 1}{1 + x}}$

Этап 5.3.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x - (x - 1)}{1 + x}}$

Этап 5.3.4.4

Изменим порядок членов.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - (x - 1)}{x + 1}}$

Этап 5.3.4.5

Перепишем $\frac{x + 1 - (x - 1)}{x + 1}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}}$

Этап 5.3.4.5.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}}$

Этап 5.3.4.5.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{0 + 1 + 1}{x + 1}}$

Этап 5.3.4.5.4

Добавим $0$ и $1$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + 1}{x + 1}}$

Этап 5.3.4.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{2}{x + 1}}$

Этап 5.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Этап 5.3.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 (x)}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Этап 5.3.6.2

Сократим общий множитель.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Этап 5.3.6.3

Перепишем это выражение.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

Этап 5.3.7

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Сократим общий множитель.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

Этап 5.3.7.2

Перепишем это выражение.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$ — обратная к $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$