Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ в виде уравнения.

$y = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} = x$ .

$\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} = x$

Этап 3.2

Умножим обе части на $e^{y} + 1$ .

$\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} (e^{y} + 1) = x (e^{y} + 1)$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $e^{y} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} (e^{y} + 1) = x (e^{y} + 1)$

Этап 3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$e^{y} - 1 = x (e^{y} + 1)$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим $x (e^{y} + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{y} - 1 = x e^{y} + x \cdot 1$

Этап 3.3.2.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$e^{y} - 1 = x e^{y} + x$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $x e^{y}$ из обеих частей уравнения.

$e^{y} - 1 - x e^{y} = x$

Этап 3.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$e^{y} - x e^{y} = x + 1$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $e^{y}$ из $e^{y} - x e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Умножим на $1$ .

$e^{y} \cdot 1 - x e^{y} = x + 1$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $e^{y}$ из $- x e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- x) = x + 1$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $e^{y}$ из $e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- x)$ .

$e^{y} (1 - x) = x + 1$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $e^{y} (1 - x) = x + 1$ на $1 - x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $e^{y} (1 - x) = x + 1$ на $1 - x$ .

$\frac{e^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $e^{y}$ на $1$ .

$e^{y} = \frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{y} = \frac{x + 1}{1 - x}$

Этап 3.4.5

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Этап 3.4.6

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Развернем $\ln (e^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Этап 3.4.6.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Этап 3.4.6.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$ обратной к $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) + 1}{1 - (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Этап 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $e^{x} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $\frac{\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + 1}{1 - \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}}$ на $\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + 1}{1 - \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}})$

Этап 5.2.3.2

Объединим.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(e^{x} + 1) (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + 1)}{(e^{x} + 1) (1 - \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Этап 5.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(e^{x} + 1) (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Этап 5.2.5

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Сократим общий множитель $e^{x} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(e^{x} + 1) (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Этап 5.2.5.1.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Этап 5.2.5.2

Сократим общий множитель $e^{x} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ в числитель.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (\frac{- (e^{x} - 1)}{e^{x} + 1})})$

Этап 5.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (\frac{- (e^{x} - 1)}{e^{x} + 1})})$

Этап 5.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Этап 5.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Умножим $e^{x} + 1$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + e^{x} + 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Этап 5.2.6.2

Добавим $e^{x}$ и $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x} - 1 + 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Этап 5.2.6.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x} + 0}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Этап 5.2.6.4

Добавим $2 e^{x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Этап 5.2.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Умножим $e^{x} + 1$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1 - (e^{x} - 1)})$

Этап 5.2.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1 - e^{x} + 1})$

Этап 5.2.7.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1 - e^{x} + 1})$

Этап 5.2.7.4

Вычтем $e^{x}$ из $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{0 + 1 + 1})$

Этап 5.2.7.5

Добавим $0$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{1 + 1})$

Этап 5.2.7.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

Этап 5.2.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

Этап 5.2.8.2

Разделим $e^{x}$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (e^{x})$

Этап 5.2.9

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x$ из степени.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = x \ln (e)$

Этап 5.2.10

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = x \cdot 1$

Этап 5.2.11

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x}))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} - 1}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Этап 5.3.3.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1 \cdot \frac{1 - x}{1 - x}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Этап 5.3.3.3

Объединим $- 1$ и $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} + \frac{- (1 - x)}{1 - x}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Этап 5.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - (1 - x)}{1 - x}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Этап 5.3.3.5

Изменим порядок членов.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - (1 - x)}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Этап 5.3.3.6

Перепишем $\frac{x + 1 - (1 - x)}{- x + 1}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 \cdot 1 + x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Этап 5.3.3.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 + x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Этап 5.3.3.6.3

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 + 1 x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Этап 5.3.3.6.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 + x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Этап 5.3.3.6.4

Добавим $x$ и $x$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x + 1 - 1}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Этап 5.3.3.6.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x + 0}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Этап 5.3.3.6.6

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Этап 5.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x + 1}{1 - x} + 1}$

Этап 5.3.4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x + 1}{1 - x} + \frac{1 - x}{1 - x}}$

Этап 5.3.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x + 1 + 1 - x}{1 - x}}$

Этап 5.3.4.4

Изменим порядок членов.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x - x + 1 + 1}{- x + 1}}$

Этап 5.3.4.5

Перепишем $\frac{x - x + 1 + 1}{- x + 1}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.5.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{0 + 1 + 1}{- x + 1}}$

Этап 5.3.4.5.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{1 + 1}{- x + 1}}$

Этап 5.3.4.5.3

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{2}{- x + 1}}$

Этап 5.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{2 x}{- x + 1} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

Этап 5.3.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{2 (x)}{- x + 1} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

Этап 5.3.6.2

Сократим общий множитель.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{2 x}{- x + 1} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

Этап 5.3.6.3

Перепишем это выражение.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{x}{- x + 1} \cdot (- x + 1)$

Этап 5.3.7

Умножим $\frac{x}{- x + 1}$ на $- x + 1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

Этап 5.3.8

Сократим общий множитель $- x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Сократим общий множитель.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

Этап 5.3.8.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$ — обратная к $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$