Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}$ в виде уравнения.

$y = \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{4} y - \frac{1}{2}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{4} y - \frac{1}{2} = x$ .

$\frac{1}{4} y - \frac{1}{2} = x$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $y$ .

$\frac{y}{4} - \frac{1}{2} = x$

Этап 3.3

Добавим $\frac{1}{2}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{y}{4} = x + \frac{1}{2}$

Этап 3.4

Умножим обе части уравнения на $4$ .

$4 \frac{y}{4} = 4 (x + \frac{1}{2})$

Этап 3.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{y}{4} = 4 (x + \frac{1}{2})$

Этап 3.5.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = 4 (x + \frac{1}{2})$

Этап 3.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим $4 (x + \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 4 x + 4 (\frac{1}{2})$

Этап 3.5.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y = 4 x + 2 (2) \frac{1}{2}$

Этап 3.5.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = 4 x + 2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

Этап 3.5.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = 4 x + 2$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 4 x + 2$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 4 x + 2$ обратной к $f (x) = \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) + 2$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = 4 (\frac{x}{4} - \frac{1}{2}) + 2$

Этап 5.2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 (- \frac{1}{2}) + 2$

Этап 5.2.3.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 (- \frac{1}{2}) + 2$

Этап 5.2.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 4 (- \frac{1}{2}) + 2$

Этап 5.2.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 4 (\frac{- 1}{2}) + 2$

Этап 5.2.3.4.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 2 (2) (\frac{- 1}{2}) + 2$

Этап 5.2.3.4.3

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 2 \cdot (2 (\frac{- 1}{2})) + 2$

Этап 5.2.3.4.4

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 2 \cdot - 1 + 2$

Этап 5.2.3.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x - 2 + 2$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x - 2 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x - \frac{1}{2}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (4 x + 2)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (4 x + 2) = \frac{1}{4} \cdot (4 x + 2) - \frac{1}{2}$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (4 x + 2) = \frac{1}{4} \cdot (4 x) + \frac{1}{4} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$f (4 x + 2) = \frac{1}{4} \cdot (4 (x)) + \frac{1}{4} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

Этап 5.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (4 x + 2) = \frac{1}{4} \cdot (4 x) + \frac{1}{4} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

Этап 5.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (4 x + 2) = x + \frac{1}{4} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

Этап 5.3.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (4 x + 2) = x + \frac{1}{2 (2)} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

Этап 5.3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$f (4 x + 2) = x + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2 - \frac{1}{2}$

Этап 5.3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$f (4 x + 2) = x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (4 x + 2) = x + \frac{1 - 1}{2}$

Этап 5.3.4.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (4 x + 2) = x + \frac{0}{2}$

Этап 5.3.4.3

Разделим $0$ на $2$ .

$f (4 x + 2) = x + 0$

Этап 5.3.4.4

Добавим $x$ и $0$ .

$f (4 x + 2) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 4 x + 2$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{4} x - \frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = 4 x + 2$