Математический анализ Примеры

$f (x) = \arctan (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = \arctan (x)$ в виде уравнения.

$y = \arctan (x)$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \arctan (y)$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\arctan (y) = x$ .

$\arctan (y) = x$

Этап 3.2

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арктангенса.

$y = \tan (x)$

Этап 3.3

Избавимся от скобок.

$y = \tan (x)$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \tan (x)$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \tan (x)$ обратной к $f (x) = \arctan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\arctan (x))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\arctan (x)) = \tan (\arctan (x))$

Этап 5.2.3

Тангенс и арктангенс — обратные функции.

$f^{- 1} (\arctan (x)) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\tan (x))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\tan (x)) = \arctan (\tan (x))$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \tan (x)$ — обратная к $f (x) = \arctan (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \tan (x)$