Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{8 - 4 x}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \sqrt{8 - 4 x}$ в виде уравнения.

$y = \sqrt{8 - 4 x}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt{8 - 4 y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{8 - 4 y} = x$ .

$\sqrt{8 - 4 y} = x$

Этап 3.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{8 - 4 y}}^{2} = x^{2}$

Этап 3.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{8 - 4 y}$ в виде ${(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${({(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(8 - 4 y)}^{1} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим.

$8 - 4 y = x^{2}$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$- 4 y = x^{2} - 8$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $- 4 y = x^{2} - 8$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $- 4 y = x^{2} - 8$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 8}{- 4}$

Этап 3.4.2.3.1.2

Разделим $- 8$ на $- 4$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + 2$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 2$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 2$ обратной к $f (x) = \sqrt{8 - 4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{(\sqrt{8 - 4 x})}^{2}}{4} + 2$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8 - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{\sqrt{4 (2) - 4 x}}^{2}}{4} + 2$

Этап 5.2.3.1.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{\sqrt{4 (2) + 4 (- x)}}^{2}}{4} + 2$

Этап 5.2.3.1.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (2) + 4 (- x)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{\sqrt{4 (2 - x)}}^{2}}{4} + 2$

Этап 5.2.3.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{\sqrt{2^{2} (2 - x)}}^{2}}{4} + 2$

Этап 5.2.3.1.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{(2 \sqrt{2 - x})}^{2}}{4} + 2$

Этап 5.2.3.1.4

Применим правило умножения к $2 \sqrt{2 - x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{2^{2} {\sqrt{2 - x}}^{2}}{4} + 2$

Этап 5.2.3.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {\sqrt{2 - x}}^{2}}{4} + 2$

Этап 5.2.3.1.6

Перепишем ${\sqrt{2 - x}}^{2}$ в виде $2 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 - x}$ в виде ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {({(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 2$

Этап 5.2.3.1.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {(2 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 2$

Этап 5.2.3.1.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {(2 - x)}^{\frac{2}{2}}}{4} + 2$

Этап 5.2.3.1.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {(2 - x)}^{\frac{2}{2}}}{4} + 2$

Этап 5.2.3.1.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2 - x)}{4} + 2$

Этап 5.2.3.1.6.5

Упростим.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2 - x)}{4} + 2$

Этап 5.2.3.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 \cdot 2 + 4 (- x)}{4} + 2$

Этап 5.2.3.1.8

Умножим $4$ на $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{8 + 4 (- x)}{4} + 2$

Этап 5.2.3.1.9

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{8 - 4 x}{4} + 2$

Этап 5.2.3.1.10

Вынесем множитель $4$ из $8 - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.10.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2) - 4 x}{4} + 2$

Этап 5.2.3.1.10.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2) + 4 (- x)}{4} + 2$

Этап 5.2.3.1.10.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (2) + 4 (- x)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2 - x)}{4} + 2$

Этап 5.2.3.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2 - x)}{4} + 2$

Этап 5.2.3.2.2

Разделим $2 - x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - (2 - x) + 2$

Этап 5.2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - 1 \cdot 2 + x + 2$

Этап 5.2.3.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - 2 + x + 2$

Этап 5.2.3.5

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - 2 + 1 x + 2$

Этап 5.2.3.5.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - 2 + x + 2$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $- 2 + x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (- \frac{x^{2}}{4} + 2)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{8 - 4 (- \frac{x^{2}}{4} + 2)}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $4$ из $8 - 4 (- \frac{x^{2}}{4} + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2) - 4 (- \frac{x^{2}}{4} + 2)}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 (- \frac{x^{2}}{4} + 2)$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2) + 4 (- (- \frac{x^{2}}{4} + 2))}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (2) + 4 (- (- \frac{x^{2}}{4} + 2))$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2 - (- \frac{x^{2}}{4} + 2))}$

Этап 5.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2 + \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot 2)}$

Этап 5.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2 + \frac{x^{2}}{4} - 2)}$

Этап 5.3.5.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + 0)}$

Этап 5.3.5.3

Добавим $\frac{x^{2}}{4}$ и $0$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4})}$

Этап 5.3.6

Объединим $4$ и $\frac{x^{2}}{4}$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{4}}$

Этап 5.3.7

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Сократим выражение $\frac{4 x^{2}}{4}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{4}}$

Этап 5.3.7.1.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Этап 5.3.7.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{x^{2}}$

Этап 5.3.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 2$ — обратная к $f (x) = \sqrt{8 - 4 x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 2$