Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} - 2 x + 5$

Этап 1

Запишем $f (x) = x^{2} - 2 x + 5$ в виде уравнения.

$y = x^{2} - 2 x + 5$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = y^{2} - 2 y + 5$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $y^{2} - 2 y + 5 = x$ .

$y^{2} - 2 y + 5 = x$

Этап 3.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - 2 y + 5 - x = 0$

Этап 3.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = 5 - x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (5 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.4

Умножим $- 4$ на $5$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.6

Вычтем $20$ из $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.7

Вынесем множитель $4$ из $- 16 + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $- 16$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot - 4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.7.2

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot - 4 + 4 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 4 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.8

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 4 + x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 4 + x}}{2}$

Этап 3.5.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{- 4 + x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{- 4 + x}$

Этап 3.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.4

Умножим $- 4$ на $5$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.6

Вычтем $20$ из $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.7

Вынесем множитель $4$ из $- 16 + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $- 16$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot - 4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.7.2

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot - 4 + 4 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 4 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.8

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 4 + x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 4 + x}}{2}$

Этап 3.6.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{- 4 + x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{- 4 + x}$

Этап 3.6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = 1 + \sqrt{- 4 + x}$

Этап 3.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (5 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.4

Умножим $- 4$ на $5$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.6

Вычтем $20$ из $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.7

Вынесем множитель $4$ из $- 16 + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $- 16$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot - 4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.7.2

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot - 4 + 4 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 4 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.8

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 + x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 4 + x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{- 4 + x}}{2}$

Этап 3.7.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{- 4 + x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{- 4 + x}$

Этап 3.7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = 1 - \sqrt{- 4 + x}$

Этап 3.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = 1 + \sqrt{- 4 + x}$

$y = 1 - \sqrt{- 4 + x}$

$y = 1 + \sqrt{- 4 + x}$

$y = 1 - \sqrt{- 4 + x}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{- 4 + x}, 1 - \sqrt{- 4 + x}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{- 4 + x}, 1 - \sqrt{- 4 + x}$ обратной к $f (x) = x^{2} - 2 x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = x^{2} - 2 x + 5$ и $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{- 4 + x}, 1 - \sqrt{- 4 + x}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = x^{2} - 2 x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[4, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $1 + \sqrt{- 4 + x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{- 4 + x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$- 4 + x \geq 0$

Этап 5.3.2

Добавим $4$ к обеим частям неравенства.

$x \geq 4$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[4, \infty)$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (x) = x^{2} - 2 x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{- 4 + x}, 1 - \sqrt{- 4 + x}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = x^{2} - 2 x + 5$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{- 4 + x}, 1 - \sqrt{- 4 + x}$ , представляет область определения $f (x) = x^{2} - 2 x + 5$ , то $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{- 4 + x}, 1 - \sqrt{- 4 + x}$ — обратная к $f (x) = x^{2} - 2 x + 5$ .

$f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{- 4 + x}, 1 - \sqrt{- 4 + x}$

Этап 6