Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$

Этап 1

Запишем $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ в виде уравнения.

$y = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 3 e^{\frac{1}{3} y + 1}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ .

$3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ на $3$ .

$\frac{3 e^{\frac{1}{3} y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 e^{\frac{1}{3} y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $e^{\frac{1}{3} y + 1}$ на $1$ .

$e^{\frac{1}{3} y + 1} = \frac{x}{3}$

Этап 3.2.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y$ .

$e^{\frac{y}{3} + 1} = \frac{x}{3}$

Этап 3.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{\frac{y}{3} + 1}) = \ln (\frac{x}{3})$

Этап 3.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Развернем $\ln (e^{\frac{y}{3} + 1})$ , вынося $\frac{y}{3} + 1$ из логарифма.

$(\frac{y}{3} + 1) \ln (e) = \ln (\frac{x}{3})$

Этап 3.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(\frac{y}{3} + 1) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Этап 3.4.3

Умножим $\frac{y}{3} + 1$ на $1$ .

$\frac{y}{3} + 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Этап 3.5

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y}{3} = \ln (\frac{x}{3}) - 1$

Этап 3.6

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 \frac{y}{3} = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

Этап 3.7

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{y}{3} = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

Этап 3.7.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

Этап 3.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Упростим $3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 3 \ln (\frac{x}{3}) + 3 \cdot - 1$

Этап 3.7.2.1.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$y = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$ обратной к $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (\frac{3 e^{\frac{1}{3} x + 1}}{3}) - 3$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (\frac{3 e^{\frac{1}{3} x + 1}}{3}) - 3$

Этап 5.2.3.1.2

Разделим $e^{\frac{1}{3} x + 1}$ на $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (e^{\frac{1}{3} x + 1}) - 3$

Этап 5.2.3.2

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $\frac{1}{3} x + 1$ из степени.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{1}{3} x + 1) \ln (e)) - 3$

Этап 5.2.3.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{x}{3} + 1) \ln (e)) - 3$

Этап 5.2.3.4

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{x}{3} + 1) \cdot 1) - 3$

Этап 5.2.3.5

Умножим $\frac{x}{3} + 1$ на $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3} + 1) - 3$

Этап 5.2.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot 1 - 3$

Этап 5.2.3.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.7.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot 1 - 3$

Этап 5.2.3.7.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 3 \cdot 1 - 3$

Этап 5.2.3.8

Умножим $3$ на $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 3 - 3$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x + 3 - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) + 1}$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Упростим $3 \ln (\frac{x}{3})$ путем переноса $3$ под логарифм.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln ({(\frac{x}{3})}^{3}) - 3) + 1}$

Этап 5.3.3.1.2

Применим правило умножения к $\frac{x}{3}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln (\frac{x^{3}}{3^{3}}) - 3) + 1}$

Этап 5.3.3.1.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln (\frac{x^{3}}{27}) - 3) + 1}$

Этап 5.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{x^{3}}{27}) + \frac{1}{3} \cdot - 3 + 1}$

Этап 5.3.3.3

Упростим $\frac{1}{3} \ln (\frac{x^{3}}{27})$ путем переноса $\frac{1}{3}$ под логарифм.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot - 3 + 1}$

Этап 5.3.3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 1)) + 1}$

Этап 5.3.3.4.2

Сократим общий множитель.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1) + 1}$

Этап 5.3.3.4.3

Перепишем это выражение.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) - 1 + 1}$

Этап 5.3.3.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Применим правило умножения к $\frac{x^{3}}{27}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{{(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Этап 5.3.3.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Этап 5.3.3.5.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Этап 5.3.3.5.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{1}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Этап 5.3.3.5.2.2

Упростим.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Этап 5.3.3.5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.3.1

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{{(3^{3})}^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Этап 5.3.3.5.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{3 (\frac{1}{3})}}) - 1 + 1}$

Этап 5.3.3.5.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{3 (\frac{1}{3})}}) - 1 + 1}$

Этап 5.3.3.5.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{1}}) - 1 + 1}$

Этап 5.3.3.5.3.4

Найдем экспоненту.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1}$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) + 0}$

Этап 5.3.4.2

Добавим $\ln (\frac{x}{3})$ и $0$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3})}$

Этап 5.3.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 (\frac{x}{3})$

Этап 5.3.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Сократим общий множитель.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 (\frac{x}{3})$

Этап 5.3.6.2

Перепишем это выражение.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$ — обратная к $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$