Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{3}{2} x + 3$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{3}{2} x + 3$ в виде уравнения.

$y = \frac{3}{2} x + 3$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{3}{2} y + 3$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{3}{2} y + 3 = x$ .

$\frac{3}{2} y + 3 = x$

Этап 3.2

Объединим $\frac{3}{2}$ и $y$ .

$\frac{3 y}{2} + 3 = x$

Этап 3.3

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$\frac{3 y}{2} = x - 3$

Этап 3.4

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y}{2} = \frac{2}{3} (x - 3)$

Этап 3.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Упростим $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y}{2} = \frac{2}{3} (x - 3)$

Этап 3.5.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{2}{3} (x - 3)$

Этап 3.5.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 y$ .

$\frac{1}{3} (3 (y)) = \frac{2}{3} (x - 3)$

Этап 3.5.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{2}{3} (x - 3)$

Этап 3.5.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{2}{3} (x - 3)$

Этап 3.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим $\frac{2}{3} (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 3$

Этап 3.5.2.1.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 3$

Этап 3.5.2.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot (3 (- 1))$

Этап 3.5.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

Этап 3.5.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{2 x}{3} + 2 \cdot - 1$

Этап 3.5.2.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = \frac{2 x}{3} - 2$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{3} - 2$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{3} - 2$ обратной к $f (x) = \frac{3}{2} x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{2 (\frac{3}{2} x + 3)}{3} - 2$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{2 (\frac{3 x}{2} + 3)}{3} - 2$

Этап 5.2.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $\frac{3 x}{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $\frac{3 x}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{2 (3 (\frac{x}{2}) + 3)}{3} - 2$

Этап 5.2.3.1.2.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{2 (3 (\frac{x}{2}) + 3 (1))}{3} - 2$

Этап 5.2.3.1.2.3

Вынесем множитель $3$ из $3 \frac{x}{2} + 3 (1)$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{2 (3 (\frac{x}{2} + 1))}{3} - 2$

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{2 \cdot (3 (\frac{x}{2} + 1))}{3} - 2$

Этап 5.2.3.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{6 (\frac{x}{2} + 1)}{3} - 2$

Этап 5.2.3.1.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{6 (\frac{x}{2} + \frac{2}{2})}{3} - 2$

Этап 5.2.3.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{6 (\frac{x + 2}{2})}{3} - 2$

Этап 5.2.3.2

Объединим $6$ и $\frac{x + 2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{\frac{6 (x + 2)}{2}}{3} - 2$

Этап 5.2.3.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Сократим выражение $\frac{6 (x + 2)}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 (x + 2)$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{\frac{2 (3 (x + 2))}{2}}{3} - 2$

Этап 5.2.3.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{\frac{2 (3 (x + 2))}{2 (1)}}{3} - 2$

Этап 5.2.3.3.1.3

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{\frac{2 (3 (x + 2))}{2 \cdot 1}}{3} - 2$

Этап 5.2.3.3.1.4

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{\frac{3 (x + 2)}{1}}{3} - 2$

Этап 5.2.3.3.2

Разделим $3 (x + 2)$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

Этап 5.2.3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

Этап 5.2.3.4.2

Разделим $x + 2$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = x + 2 - 2$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x + 2 - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{2 x}{3} - 2)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{2 x}{3} - 2) + 3$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

Этап 5.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

Этап 5.3.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

Этап 5.3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

Этап 5.3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

Этап 5.3.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x + \frac{3}{2} \cdot (2 (- 1)) + 3$

Этап 5.3.3.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x + \frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 3$

Этап 5.3.3.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x + 3 \cdot - 1 + 3$

Этап 5.3.3.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x - 3 + 3$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x - 3 + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- 3$ и $3$ .

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{3} - 2$ — обратная к $f (x) = \frac{3}{2} x + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{3} - 2$