Математический анализ Примеры

$f (x) = 9 \sqrt[7]{8 x - 7}$

Этап 1

Запишем $f (x) = 9 \sqrt[7]{8 x - 7}$ в виде уравнения.

$y = 9 \sqrt[7]{8 x - 7}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 9 \sqrt[7]{8 y - 7}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $9 \sqrt[7]{8 y - 7} = x$ .

$9 \sqrt[7]{8 y - 7} = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $9 \sqrt[7]{8 y - 7} = x$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $9 \sqrt[7]{8 y - 7} = x$ на $9$ .

$\frac{9 \sqrt[7]{8 y - 7}}{9} = \frac{x}{9}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 \sqrt[7]{8 y - 7}}{9} = \frac{x}{9}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $\sqrt[7]{8 y - 7}$ на $1$ .

$\sqrt[7]{8 y - 7} = \frac{x}{9}$

Этап 3.3

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $7$ .

${\sqrt[7]{8 y - 7}}^{7} = {(\frac{x}{9})}^{7}$

Этап 3.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[7]{8 y - 7}$ в виде ${(8 y - 7)}^{\frac{1}{7}}$ .

${({(8 y - 7)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = {(\frac{x}{9})}^{7}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим ${({(8 y - 7)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(8 y - 7)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 y - 7)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(\frac{x}{9})}^{7}$

Этап 3.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(8 y - 7)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(\frac{x}{9})}^{7}$

Этап 3.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(8 y - 7)}^{1} = {(\frac{x}{9})}^{7}$

Этап 3.4.2.1.2

Упростим.

$8 y - 7 = {(\frac{x}{9})}^{7}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим ${(\frac{x}{9})}^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{x}{9}$ .

$8 y - 7 = \frac{x^{7}}{9^{7}}$

Этап 3.4.3.1.2

Возведем $9$ в степень $7$ .

$8 y - 7 = \frac{x^{7}}{4782969}$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$8 y = \frac{x^{7}}{4782969} + 7$

Этап 3.5.2

Разделим каждый член $8 y = \frac{x^{7}}{4782969} + 7$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разделим каждый член $8 y = \frac{x^{7}}{4782969} + 7$ на $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{\frac{x^{7}}{4782969}}{8} + \frac{7}{8}$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 y}{8} = \frac{\frac{x^{7}}{4782969}}{8} + \frac{7}{8}$

Этап 3.5.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{x^{7}}{4782969}}{8} + \frac{7}{8}$

Этап 3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{x^{7}}{4782969} \cdot \frac{1}{8} + \frac{7}{8}$

Этап 3.5.2.3.1.2

Объединим.

$y = \frac{x^{7} \cdot 1}{4782969 \cdot 8} + \frac{7}{8}$

Этап 3.5.2.3.1.3

Умножим $x^{7}$ на $1$ .

$y = \frac{x^{7}}{4782969 \cdot 8} + \frac{7}{8}$

Этап 3.5.2.3.1.4

Умножим $4782969$ на $8$ .

$y = \frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$ обратной к $f (x) = 9 \sqrt[7]{8 x - 7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{{(9 \sqrt[7]{8 x - 7})}^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Применим правило умножения к $9 \sqrt[7]{8 x - 7}$ .

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{9^{7} {\sqrt[7]{8 x - 7}}^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$

Этап 5.2.3.1.2

Возведем $9$ в степень $7$ .

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 {\sqrt[7]{8 x - 7}}^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$

Этап 5.2.3.1.3

Перепишем ${\sqrt[7]{8 x - 7}}^{7}$ в виде $8 x - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[7]{8 x - 7}$ в виде ${(8 x - 7)}^{\frac{1}{7}}$ .

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 {({(8 x - 7)}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$

Этап 5.2.3.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 {(8 x - 7)}^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{38263752} + \frac{7}{8}$

Этап 5.2.3.1.3.3

Объединим $\frac{1}{7}$ и $7$ .

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 {(8 x - 7)}^{\frac{7}{7}}}{38263752} + \frac{7}{8}$

Этап 5.2.3.1.3.4

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 {(8 x - 7)}^{\frac{7}{7}}}{38263752} + \frac{7}{8}$

Этап 5.2.3.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 (8 x - 7)}{38263752} + \frac{7}{8}$

Этап 5.2.3.1.3.5

Упростим.

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 (8 x - 7)}{38263752} + \frac{7}{8}$

Этап 5.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Вынесем множитель $4782969$ из $38263752$ .

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 (8 x - 7)}{4782969 \cdot 8} + \frac{7}{8}$

Этап 5.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 (8 x - 7)}{4782969 \cdot 8} + \frac{7}{8}$

Этап 5.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{8 x - 7}{8} + \frac{7}{8}$

Этап 5.2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{8 x - 7 + 7}{8}$

Этап 5.2.4.2

Объединим противоположные члены в $8 x - 7 + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Добавим $- 7$ и $7$ .

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{8 x + 0}{8}$

Этап 5.2.4.2.2

Добавим $8 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{8 x}{8}$

Этап 5.2.4.3

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{8 x}{8}$

Этап 5.2.4.3.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{8 (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) - 7}$

Этап 5.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{8 (\frac{x^{7}}{38263752}) + 8 (\frac{7}{8}) - 7}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вынесем множитель $8$ из $38263752$ .

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{8 (\frac{x^{7}}{8 (4782969)}) + 8 (\frac{7}{8}) - 7}$

Этап 5.3.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{8 (\frac{x^{7}}{8 \cdot 4782969}) + 8 (\frac{7}{8}) - 7}$

Этап 5.3.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{4782969} + 8 (\frac{7}{8}) - 7}$

Этап 5.3.5

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{4782969} + 8 (\frac{7}{8}) - 7}$

Этап 5.3.5.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{4782969} + 7 - 7}$

Этап 5.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Вычтем $7$ из $7$ .

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{4782969} + 0}$

Этап 5.3.6.2

Добавим $\frac{x^{7}}{4782969}$ и $0$ .

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{4782969}}$

Этап 5.3.6.3

Перепишем $4782969$ в виде $9^{7}$ .

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{9^{7}}}$

Этап 5.3.7

Перепишем $\frac{x^{7}}{9^{7}}$ в виде ${(\frac{x}{9})}^{7}$ .

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{{(\frac{x}{9})}^{7}}$

Этап 5.3.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 (\frac{x}{9})$

Этап 5.3.9

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 (\frac{x}{9})$

Этап 5.3.9.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$ — обратная к $f (x) = 9 \sqrt[7]{8 x - 7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$