Математический анализ Примеры

$f (x) = e^{2 x} + 1$

Этап 1

Запишем $f (x) = e^{2 x} + 1$ в виде уравнения.

$y = e^{2 x} + 1$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = e^{2 y} + 1$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $e^{2 y} + 1 = x$ .

$e^{2 y} + 1 = x$

Этап 3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$e^{2 y} = x - 1$

Этап 3.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (x - 1)$

Этап 3.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Развернем $\ln (e^{2 y})$ , вынося $2 y$ из логарифма.

$2 y \ln (e) = \ln (x - 1)$

Этап 3.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (x - 1)$

Этап 3.4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 y = \ln (x - 1)$

Этап 3.5

Разделим каждый член $2 y = \ln (x - 1)$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член $2 y = \ln (x - 1)$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

Этап 3.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$ обратной к $f (x) = e^{2 x} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (e^{2 x} + 1)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \frac{\ln ((e^{2 x} + 1) - 1)}{2}$

Этап 5.2.3

Упростим $\frac{1}{2} \ln (e^{2 x} + 1 - 1)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + 1 - 1)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $e^{2 x} + 1 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + 0)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.2.4.2

Добавим $e^{2 x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.2.5

Перемножим экспоненты в ${(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Этап 5.2.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 (x) (\frac{1}{2})})$

Этап 5.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Этап 5.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{x})$

Этап 5.2.6

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x$ из степени.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = x \ln (e)$

Этап 5.2.7

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = x \cdot 1$

Этап 5.2.8

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{\ln (x - 1)}{2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x - 1)}{2})} + 1$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x - 1)}{2})} + 1$

Этап 5.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = e^{\ln (x - 1)} + 1$

Этап 5.3.3.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = x - 1 + 1$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$ — обратная к $f (x) = e^{2 x} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$