Математический анализ Примеры

$f (x) = - \frac{2}{3} x + 6$

Этап 1

Запишем $f (x) = - \frac{2}{3} x + 6$ в виде уравнения.

$y = - \frac{2}{3} x + 6$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = - \frac{2}{3} y + 6$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{2}{3} y + 6 = x$ .

$- \frac{2}{3} y + 6 = x$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $y$ и $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{y \cdot 2}{3} + 6 = x$

Этап 3.2.2

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$- \frac{2 y}{3} + 6 = x$

Этап 3.3

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{2 y}{3} = x - 6$

Этап 3.4

Умножим обе части уравнения на $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2} (- \frac{2 y}{3}) = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Этап 3.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Упростим $- \frac{3}{2} (- \frac{2 y}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{2}$ в числитель.

$\frac{- 3}{2} (- \frac{2 y}{3}) = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Этап 3.5.1.1.1.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 y}{3}$ в числитель.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{- 2 y}{3} = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Этап 3.5.1.1.1.3

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{2} \cdot \frac{- 2 y}{3} = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Этап 3.5.1.1.1.4

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{- 2 y}{3} = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Этап 3.5.1.1.1.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{2} (- 2 y) = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Этап 3.5.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y$ .

$\frac{- 1}{2} (2 (- y)) = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Этап 3.5.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{2} (2 (- y)) = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Этап 3.5.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- - y = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Этап 3.5.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Этап 3.5.1.1.3.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Этап 3.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим $- \frac{3}{2} (x - 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 6$

Этап 3.5.2.1.1.2

Объединим $x$ и $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 6$

Этап 3.5.2.1.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{2}$ в числитель.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot - 6$

Этап 3.5.2.1.1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (- 3))$

Этап 3.5.2.1.1.3.3

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot - 3)$

Этап 3.5.2.1.1.3.4

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3 \cdot - 3$

Этап 3.5.2.1.1.4

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 9$

Этап 3.5.2.1.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + 9$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{2} + 9$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{2} + 9$ обратной к $f (x) = - \frac{2}{3} x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 (- \frac{2}{3} x + 6)}{2} + 9$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Объединим $x$ и $\frac{2}{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 (- \frac{x \cdot 2}{3} + 6)}{2} + 9$

Этап 5.2.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 (- \frac{2 \cdot x}{3} + 6)}{2} + 9$

Этап 5.2.3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- \frac{2 x}{3} + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- \frac{2 x}{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 (2 (- \frac{x}{3}) + 6)}{2} + 9$

Этап 5.2.3.1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 (2 (- \frac{x}{3}) + 2 (3))}{2} + 9$

Этап 5.2.3.1.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- \frac{x}{3}) + 2 (3)$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 (2 (- \frac{x}{3} + 3))}{2} + 9$

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 \cdot (2 (- \frac{x}{3} + 3))}{2} + 9$

Этап 5.2.3.1.4

Умножим $3$ на $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{6 (- \frac{x}{3} + 3)}{2} + 9$

Этап 5.2.3.1.5

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{6 (- \frac{x}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3})}{2} + 9$

Этап 5.2.3.1.6

Объединим $3$ и $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{6 (- \frac{x}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3})}{2} + 9$

Этап 5.2.3.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{6 (\frac{- x + 3 \cdot 3}{3})}{2} + 9$

Этап 5.2.3.1.8

Умножим $3$ на $3$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{6 (\frac{- x + 9}{3})}{2} + 9$

Этап 5.2.3.2

Объединим $6$ и $\frac{- x + 9}{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{\frac{6 (- x + 9)}{3}}{2} + 9$

Этап 5.2.3.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Сократим выражение $\frac{6 (- x + 9)}{3}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6 (- x + 9)$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{\frac{3 (2 (- x + 9))}{3}}{2} + 9$

Этап 5.2.3.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{\frac{3 (2 (- x + 9))}{3 (1)}}{2} + 9$

Этап 5.2.3.3.1.3

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{\frac{3 (2 (- x + 9))}{3 \cdot 1}}{2} + 9$

Этап 5.2.3.3.1.4

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{\frac{2 (- x + 9)}{1}}{2} + 9$

Этап 5.2.3.3.2

Разделим $2 (- x + 9)$ на $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{2 (- x + 9)}{2} + 9$

Этап 5.2.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{2 (- x + 9)}{2} + 9$

Этап 5.2.3.4.2

Разделим $- x + 9$ на $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - (- x + 9) + 9$

Этап 5.2.3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = x - 1 \cdot 9 + 9$

Этап 5.2.3.6

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = 1 x - 1 \cdot 9 + 9$

Этап 5.2.3.6.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = x - 1 \cdot 9 + 9$

Этап 5.2.3.7

Умножим $- 1$ на $9$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = x - 9 + 9$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x - 9 + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 9$ и $9$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (- \frac{3 x}{2} + 9)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{3 x}{2} + 9) + 6$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{3 x}{2}) - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{3}$ в числитель.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{- 2}{3} \cdot (- \frac{3 x}{2}) - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Этап 5.3.3.2.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3 x}{2}$ в числитель.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{- 2}{3} \cdot \frac{- 3 x}{2} - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Этап 5.3.3.2.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3 x}{2} - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Этап 5.3.3.2.4

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3 x}{2} - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Этап 5.3.3.2.5

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (- 3 x) - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Этап 5.3.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- x)) - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Этап 5.3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- x)) - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Этап 5.3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = - 1 (- x) - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Этап 5.3.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = 1 x - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Этап 5.3.3.5

Умножим $x$ на $1$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Этап 5.3.3.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{3}$ в числитель.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x + \frac{- 2}{3} \cdot 9 + 6$

Этап 5.3.3.6.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x + \frac{- 2}{3} \cdot (3 (3)) + 6$

Этап 5.3.3.6.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x + \frac{- 2}{3} \cdot (3 \cdot 3) + 6$

Этап 5.3.3.6.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x - 2 \cdot 3 + 6$

Этап 5.3.3.7

Умножим $- 2$ на $3$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x - 6 + 6$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x - 6 + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- 6$ и $6$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{2} + 9$ — обратная к $f (x) = - \frac{2}{3} x + 6$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{2} + 9$