Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ в виде уравнения.

$y = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20 = x$ .

$\frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20 = x$

Этап 3.2

Упростим $\frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы записать $- 20$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1}{3} - 20 \cdot \frac{3}{3} = x$

Этап 3.2.2

Объединим $- 20$ и $\frac{3}{3}$ .

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1}{3} + \frac{- 20 \cdot 3}{3} = x$

Этап 3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1 - 20 \cdot 3}{3} = x$

Этап 3.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $- 20$ на $3$ .

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1 - 60}{3} = x$

Этап 3.2.4.2

Вычтем $60$ из $1$ .

$2 y^{2} - 12 y + \frac{- 59}{3} = x$

Этап 3.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 y^{2} - 12 y - \frac{59}{3} = x$

Этап 3.3

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$2 y^{2} - 12 y - \frac{59}{3} - x = 0$

Этап 3.4

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $3$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (2 y^{2}) + 3 (- 12 y) + 3 (- \frac{59}{3}) + 3 (- x) = 0$

Этап 3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $2$ на $3$ .

$6 y^{2} + 3 (- 12 y) + 3 (- \frac{59}{3}) + 3 (- x) = 0$

Этап 3.4.2.2

Умножим $- 12$ на $3$ .

$6 y^{2} - 36 y + 3 (- \frac{59}{3}) + 3 (- x) = 0$

Этап 3.4.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{59}{3}$ в числитель.

$6 y^{2} - 36 y + 3 (\frac{- 59}{3}) + 3 (- x) = 0$

Этап 3.4.2.3.2

Сократим общий множитель.

$6 y^{2} - 36 y + 3 (\frac{- 59}{3}) + 3 (- x) = 0$

Этап 3.4.2.3.3

Перепишем это выражение.

$6 y^{2} - 36 y - 59 + 3 (- x) = 0$

Этап 3.4.2.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$6 y^{2} - 36 y - 59 - 3 x = 0$

Этап 3.4.3

Перенесем $- 59$ .

$6 y^{2} - 36 y - 3 x - 59 = 0$

Этап 3.4.4

Перенесем $- 36 y$ .

$6 y^{2} - 3 x - 36 y - 59 = 0$

Этап 3.5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.6

Подставим значения $a = 6$ , $b = - 36$ и $c = - 3 x - 59$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{36 \pm \sqrt{{(- 36)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot (- 3 x - 59))}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Возведем $- 36$ в степень $2$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 6 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.7.1.2

Умножим $- 4$ на $6$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 (- 3 x) - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.7.1.4

Умножим $- 3$ на $- 24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.7.1.5

Умножим $- 24$ на $- 59$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x + 1416}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.7.1.6

Добавим $1296$ и $1416$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{72 x + 2712}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.7.1.7

Вынесем множитель $24$ из $72 x + 2712$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.7.1

Вынесем множитель $24$ из $72 x$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 2712}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.7.1.7.2

Вынесем множитель $24$ из $2712$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 24 (113)}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.7.1.7.3

Вынесем множитель $24$ из $24 (3 x) + 24 (113)$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.7.1.8

Перепишем $24 (3 x + 113)$ в виде $2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{4 (6) (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.7.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.7.1.8.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.7.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $6$ .

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$

Этап 3.7.3

Упростим $\frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Этап 3.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Возведем $- 36$ в степень $2$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 6 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.8.1.2

Умножим $- 4$ на $6$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 (- 3 x) - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.8.1.4

Умножим $- 3$ на $- 24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.8.1.5

Умножим $- 24$ на $- 59$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x + 1416}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.8.1.6

Добавим $1296$ и $1416$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{72 x + 2712}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.8.1.7

Вынесем множитель $24$ из $72 x + 2712$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.7.1

Вынесем множитель $24$ из $72 x$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 2712}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.8.1.7.2

Вынесем множитель $24$ из $2712$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 24 (113)}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.8.1.7.3

Вынесем множитель $24$ из $24 (3 x) + 24 (113)$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.8.1.8

Перепишем $24 (3 x + 113)$ в виде $2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{4 (6) (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.8.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.8.1.8.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.8.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.8.2

Умножим $2$ на $6$ .

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$

Этап 3.8.3

Упростим $\frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Этап 3.8.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Этап 3.9

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.1

Возведем $- 36$ в степень $2$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 6 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.9.1.2

Умножим $- 4$ на $6$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.9.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 (- 3 x) - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.9.1.4

Умножим $- 3$ на $- 24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.9.1.5

Умножим $- 24$ на $- 59$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x + 1416}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.9.1.6

Добавим $1296$ и $1416$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{72 x + 2712}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.9.1.7

Вынесем множитель $24$ из $72 x + 2712$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.7.1

Вынесем множитель $24$ из $72 x$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 2712}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.9.1.7.2

Вынесем множитель $24$ из $2712$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 24 (113)}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.9.1.7.3

Вынесем множитель $24$ из $24 (3 x) + 24 (113)$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.9.1.8

Перепишем $24 (3 x + 113)$ в виде $2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{4 (6) (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.9.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.9.1.8.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.9.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Этап 3.9.2

Умножим $2$ на $6$ .

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$

Этап 3.9.3

Упростим $\frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Этап 3.9.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Этап 3.10

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

$y = \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

$y = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

$y = \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ обратной к $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ и $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- \frac{113}{3}, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $\frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{6 (3 x + 113)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$6 (3 x + 113) \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Разделим каждый член $6 (3 x + 113) \geq 0$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Разделим каждый член $6 (3 x + 113) \geq 0$ на $6$ .

$\frac{6 (3 x + 113)}{6} \geq \frac{0}{6}$

Этап 5.3.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 (3 x + 113)}{6} \geq \frac{0}{6}$

Этап 5.3.2.1.2.1.2

Разделим $3 x + 113$ на $1$ .

$3 x + 113 \geq \frac{0}{6}$

Этап 5.3.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.3.1

Разделим $0$ на $6$ .

$3 x + 113 \geq 0$

Этап 5.3.2.2

Вычтем $113$ из обеих частей неравенства.

$3 x \geq - 113$

Этап 5.3.2.3

Разделим каждый член $3 x \geq - 113$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Разделим каждый член $3 x \geq - 113$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{- 113}{3}$

Этап 5.3.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{- 113}{3}$

Этап 5.3.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{- 113}{3}$

Этап 5.3.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x \geq - \frac{113}{3}$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- \frac{113}{3}, \infty)$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ , представляет область определения $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Этап 6