Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

Этап 1

Запишем $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ в виде уравнения.

$y = x^{\frac{2}{3}}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = y^{\frac{2}{3}}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $y^{\frac{2}{3}} = x$ .

$y^{\frac{2}{3}} = x$

Этап 3.2

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{3}{2}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.3.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.3.1.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.3.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.3.1.2

Упростим.

$y = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = x^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = x^{\frac{3}{2}}$

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

$y = x^{\frac{3}{2}}$

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

$y = x^{\frac{3}{2}}$

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ обратной к $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ и $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $x^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\sqrt{x^{3}}$

Этап 5.3.2

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{3}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{3} \geq 0$

Этап 5.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

Этап 5.3.3.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$x \geq \sqrt[3]{0}$

Этап 5.3.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 5.3.3.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x \geq 0$

Этап 5.3.4

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[0, \infty)$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\sqrt[3]{x^{2}}$

Этап 5.4.2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ , представляет область определения $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , то $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ — обратная к $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$

Этап 6