Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{2} + 5 x + 4$

Этап 1

Запишем $f (x) = 2 x^{2} + 5 x + 4$ в виде уравнения.

$y = 2 x^{2} + 5 x + 4$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 2 y^{2} + 5 y + 4$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $2 y^{2} + 5 y + 4 = x$ .

$2 y^{2} + 5 y + 4 = x$

Этап 3.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$2 y^{2} + 5 y + 4 - x = 0$

Этап 3.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4

Подставим значения $a = 2$ , $b = 5$ и $c = 4 - x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (4 - x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot (4 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot (4 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 4 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5.1.4

Умножим $- 8$ на $4$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 32 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5.1.5

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 32 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5.1.6

Вычтем $32$ из $25$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}$

Этап 3.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot (4 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot (4 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 4 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.6.1.4

Умножим $- 8$ на $4$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 32 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.6.1.5

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 32 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.6.1.6

Вычтем $32$ из $25$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}$

Этап 3.6.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{- 5 + \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}$

Этап 3.6.4

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 5 + \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}$

Этап 3.6.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{- 7 + 8 x}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \sqrt{- 7 + 8 x})}{4}$

Этап 3.6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (5) - 1 (- \sqrt{- 7 + 8 x})$ .

$y = \frac{- 1 (5 - \sqrt{- 7 + 8 x})}{4}$

Этап 3.6.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{5 - \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}$

Этап 3.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot (4 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.7.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot (4 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 4 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.7.1.4

Умножим $- 8$ на $4$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 32 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.7.1.5

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 32 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.7.1.6

Вычтем $32$ из $25$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}$

Этап 3.7.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{- 5 - \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}$

Этап 3.7.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 - \sqrt{- 7 + 8 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1

Изменим порядок $- 7$ и $8 x$ .

$y = \frac{- 5 - \sqrt{8 x - 7}}{4}$

Этап 3.7.4.2

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 5 - \sqrt{8 x - 7}}{4}$

Этап 3.7.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{8 x - 7}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 5 - (\sqrt{8 x - 7})}{4}$

Этап 3.7.4.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (5) - (\sqrt{8 x - 7})$ .

$y = \frac{- 1 (5 + \sqrt{8 x - 7})}{4}$

Этап 3.7.4.5

Перепишем $- 1 (5 + \sqrt{8 x - 7})$ в виде $- (5 + \sqrt{8 x - 7})$ .

$y = \frac{- (5 + \sqrt{8 x - 7})}{4}$

Этап 3.7.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{5 + \sqrt{8 x - 7}}{4}$

Этап 3.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - \frac{5 - \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}$

$y = - \frac{5 + \sqrt{8 x - 7}}{4}$

$y = - \frac{5 - \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}$

$y = - \frac{5 + \sqrt{8 x - 7}}{4}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{5 - \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}, - \frac{5 + \sqrt{8 x - 7}}{4}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{5 - \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}, - \frac{5 + \sqrt{8 x - 7}}{4}$ обратной к $f (x) = 2 x^{2} + 5 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = 2 x^{2} + 5 x + 4$ и $f^{- 1} (x) = - \frac{5 - \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}, - \frac{5 + \sqrt{8 x - 7}}{4}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = 2 x^{2} + 5 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[\frac{7}{8}, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $- \frac{5 - \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{- 7 + 8 x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$- 7 + 8 x \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Добавим $7$ к обеим частям неравенства.

$8 x \geq 7$

Этап 5.3.2.2

Разделим каждый член $8 x \geq 7$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Разделим каждый член $8 x \geq 7$ на $8$ .

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{7}{8}$

Этап 5.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{7}{8}$

Этап 5.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{7}{8}$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[\frac{7}{8}, \infty)$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (x) = 2 x^{2} + 5 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = - \frac{5 - \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}, - \frac{5 + \sqrt{8 x - 7}}{4}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = 2 x^{2} + 5 x + 4$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = - \frac{5 - \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}, - \frac{5 + \sqrt{8 x - 7}}{4}$ , представляет область определения $f (x) = 2 x^{2} + 5 x + 4$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{5 - \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}, - \frac{5 + \sqrt{8 x - 7}}{4}$ — обратная к $f (x) = 2 x^{2} + 5 x + 4$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{5 - \sqrt{- 7 + 8 x}}{4}, - \frac{5 + \sqrt{8 x - 7}}{4}$

Этап 6