Математический анализ Примеры

$f (x) = 6 x + 15$

Этап 1

Запишем $f (x) = 6 x + 15$ в виде уравнения.

$y = 6 x + 15$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 6 y + 15$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $6 y + 15 = x$ .

$6 y + 15 = x$

Этап 3.2

Вычтем $15$ из обеих частей уравнения.

$6 y = x - 15$

Этап 3.3

Разделим каждый член $6 y = x - 15$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $6 y = x - 15$ на $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{x}{6} + \frac{- 15}{6}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 y}{6} = \frac{x}{6} + \frac{- 15}{6}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 15}{6}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Сократим общий множитель $- 15$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 15$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{3 (- 5)}{6}$

Этап 3.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot - 5}{3 \cdot 2}$

Этап 3.3.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot - 5}{3 \cdot 2}$

Этап 3.3.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 5}{2}$

Этап 3.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x}{6} - \frac{5}{2}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{6} - \frac{5}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x}{6} - \frac{5}{2}$ обратной к $f (x) = 6 x + 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (6 x + 15)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (6 x + 15) = \frac{6 x + 15}{6} - \frac{5}{2}$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $6 x + 15$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $6 x$ .

$f^{- 1} (6 x + 15) = \frac{3 (2 x) + 15}{6} - \frac{5}{2}$

Этап 5.2.3.2

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$f^{- 1} (6 x + 15) = \frac{3 (2 x) + 3 (5)}{6} - \frac{5}{2}$

Этап 5.2.3.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (2 x) + 3 (5)$ .

$f^{- 1} (6 x + 15) = \frac{3 (2 x + 5)}{6} - \frac{5}{2}$

Этап 5.2.3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f^{- 1} (6 x + 15) = \frac{3 (2 x + 5)}{3 (2)} - \frac{5}{2}$

Этап 5.2.3.4.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (6 x + 15) = \frac{3 (2 x + 5)}{3 \cdot 2} - \frac{5}{2}$

Этап 5.2.3.4.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (6 x + 15) = \frac{2 x + 5}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (6 x + 15) = \frac{2 x + 5 - 5}{2}$

Этап 5.2.5

Объединим противоположные члены в $2 x + 5 - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Вычтем $5$ из $5$ .

$f^{- 1} (6 x + 15) = \frac{2 x + 0}{2}$

Этап 5.2.5.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (6 x + 15) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (6 x + 15) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.6.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (6 x + 15) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{x}{6} - \frac{5}{2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x}{6} - \frac{5}{2}) = 6 (\frac{x}{6} - \frac{5}{2}) + 15$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{x}{6} - \frac{5}{2}) = 6 (\frac{x}{6}) + 6 (- \frac{5}{2}) + 15$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x}{6} - \frac{5}{2}) = 6 (\frac{x}{6}) + 6 (- \frac{5}{2}) + 15$

Этап 5.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x}{6} - \frac{5}{2}) = x + 6 (- \frac{5}{2}) + 15$

Этап 5.3.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{2}$ в числитель.

$f (\frac{x}{6} - \frac{5}{2}) = x + 6 (\frac{- 5}{2}) + 15$

Этап 5.3.3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f (\frac{x}{6} - \frac{5}{2}) = x + 2 (3) (\frac{- 5}{2}) + 15$

Этап 5.3.3.3.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x}{6} - \frac{5}{2}) = x + 2 \cdot (3 (\frac{- 5}{2})) + 15$

Этап 5.3.3.3.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x}{6} - \frac{5}{2}) = x + 3 \cdot - 5 + 15$

Этап 5.3.3.4

Умножим $3$ на $- 5$ .

$f (\frac{x}{6} - \frac{5}{2}) = x - 15 + 15$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x - 15 + 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- 15$ и $15$ .

$f (\frac{x}{6} - \frac{5}{2}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{x}{6} - \frac{5}{2}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x}{6} - \frac{5}{2}$ — обратная к $f (x) = 6 x + 15$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{6} - \frac{5}{2}$