Математический анализ Примеры

$f (t) = \frac{t}{3 - t} + 5 t^{3}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\frac{t}{3 - t} + 5 t^{3}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [\frac{t}{3 - t}] + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t}{3 - t}] + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\frac{t}{3 - t}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = 3 - t$ .

$\frac{(3 - t) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [3 - t]}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [3 - t]}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $3 - t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t (\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Этап 2.4

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t (0 + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Этап 2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t (0 - \frac{d}{d t} [t])}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t (0 - 1 \cdot 1)}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Этап 2.7

Умножим $3 - t$ на $1$ .

$\frac{3 - t - t (0 - 1 \cdot 1)}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Этап 2.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{3 - t - t (0 - 1)}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Этап 2.9

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{3 - t - t \cdot - 1}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Этап 2.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{3 - t + 1 t}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Этап 2.11

Умножим $t$ на $1$ .

$\frac{3 - t + t}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Этап 2.12

Добавим $- t$ и $t$ .

$\frac{3 + 0}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Этап 2.13

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{3}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [5 t^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5 t^{3}$ по $t$ равна $5 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{3}{{(3 - t)}^{2}} + 5 \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{3}{{(3 - t)}^{2}} + 5 (3 t^{2})$

Этап 3.3

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{3}{{(3 - t)}^{2}} + 15 t^{2}$

Этап 4

Изменим порядок членов.

$15 t^{2} + \frac{3}{{(3 - t)}^{2}}$