Математический анализ Примеры

$f (x) = (\sqrt{x}) (\sqrt[3]{x})$

Этап 1

Перепишем это выражение, используя наименьший общий индекс $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{x}]$

Этап 1.2

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $x^{\frac{3}{6}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{6}} \sqrt[3]{x}]$

Этап 1.3

Перепишем $x^{\frac{3}{6}}$ в виде $\sqrt[6]{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{3}} \sqrt[3]{x}]$

Этап 1.4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{3}} x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.5

Перепишем $x^{\frac{1}{3}}$ в виде $x^{\frac{2}{6}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{3}} x^{\frac{2}{6}}]$

Этап 1.6

Перепишем $x^{\frac{2}{6}}$ в виде $\sqrt[6]{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{3}} \sqrt[6]{x^{2}}]$

Этап 2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{3} x^{2}}]$

Этап 3

Умножим $x^{3}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{3 + 2}}]$

Этап 3.2

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{5}}]$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[6]{x^{5}}$ в виде $x^{\frac{5}{6}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{6}}]$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} - 1}$

Этап 6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}}$

Этап 7

Объединим $- 1$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}}$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5}{6} x^{\frac{5 - 1 \cdot 6}{6}}$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{5}{6} x^{\frac{5 - 6}{6}}$

Этап 9.2

Вычтем $6$ из $5$ .

$\frac{5}{6} x^{\frac{- 1}{6}}$

Этап 10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{5}{6} x^{- \frac{1}{6}}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{6}}}$

Этап 11.2

Умножим $\frac{5}{6}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{6}}}$ .

$\frac{5}{6 x^{\frac{1}{6}}}$