Математический анализ Примеры

$f (x) = (3 x^{2} - 2 x + 5) (4 x^{2} + 3 x - 1)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 3 x^{2} - 2 x + 5$ и $g (x) = 4 x^{2} + 3 x - 1$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3 x - 1] + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x^{2} + 3 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

Этап 2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $4$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

Этап 2.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

Этап 2.7

Умножим $3$ на $1$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

Этап 2.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3 + 0) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

Этап 2.9

Добавим $8 x + 3$ и $0$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

Этап 2.10

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 2 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 2.11

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 2.13

Умножим $2$ на $3$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 2.14

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 2.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 2.16

Умножим $- 2$ на $1$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2 + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 2.17

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2 + 0)$

Этап 2.18

Добавим $6 x - 2$ и $0$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $1$ из $(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $1$ из $(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3)$ .

$1 ((3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3)) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $1$ из $(4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$ .

$1 ((3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3)) + 1 ((4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2))$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $1$ из $1 ((3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3)) + 1 ((4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2))$ .

$1 ((3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2))$

Этап 3.2

Умножим $(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$ на $1$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Этап 3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Развернем $(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$3 x^{2} (8 x) + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Этап 3.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \cdot 8 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Этап 3.3.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Перенесем $x$ .

$3 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Этап 3.3.2.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Этап 3.3.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 \cdot 8 x^{1 + 2} + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Этап 3.3.2.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$3 \cdot 8 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Этап 3.3.2.3

Умножим $3$ на $8$ .

$24 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Этап 3.3.2.4

Умножим $3$ на $3$ .

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Этап 3.3.2.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 2 \cdot 8 x \cdot x - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Этап 3.3.2.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.6.1

Перенесем $x$ .

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 2 \cdot 8 (x \cdot x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Этап 3.3.2.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 2 \cdot 8 x^{2} - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Этап 3.3.2.7

Умножим $- 2$ на $8$ .

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x^{2} - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Этап 3.3.2.8

Умножим $3$ на $- 2$ .

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x^{2} - 6 x + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Этап 3.3.2.9

Умножим $8$ на $5$ .

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x^{2} - 6 x + 40 x + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Этап 3.3.2.10

Умножим $5$ на $3$ .

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x^{2} - 6 x + 40 x + 15 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Этап 3.3.3

Вычтем $16 x^{2}$ из $9 x^{2}$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} - 6 x + 40 x + 15 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Этап 3.3.4

Добавим $- 6 x$ и $40 x$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Этап 3.3.5

Развернем $(4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 4 x^{2} (6 x) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Этап 3.3.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 4 \cdot 6 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Этап 3.3.6.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.2.1

Перенесем $x$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 4 \cdot 6 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Этап 3.3.6.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 4 \cdot 6 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Этап 3.3.6.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 4 \cdot 6 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Этап 3.3.6.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 4 \cdot 6 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Этап 3.3.6.3

Умножим $4$ на $6$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Этап 3.3.6.4

Умножим $- 2$ на $4$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Этап 3.3.6.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 3 \cdot 6 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Этап 3.3.6.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.6.1

Перенесем $x$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 3 \cdot 6 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Этап 3.3.6.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 3 \cdot 6 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Этап 3.3.6.7

Умножим $3$ на $6$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 18 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Этап 3.3.6.8

Умножим $- 2$ на $3$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 18 x^{2} - 6 x - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Этап 3.3.6.9

Умножим $6$ на $- 1$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 18 x^{2} - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 2$

Этап 3.3.6.10

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 18 x^{2} - 6 x - 6 x + 2$

Этап 3.3.7

Добавим $- 8 x^{2}$ и $18 x^{2}$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} + 10 x^{2} - 6 x - 6 x + 2$

Этап 3.3.8

Вычтем $6 x$ из $- 6 x$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} + 10 x^{2} - 12 x + 2$

Этап 3.4

Добавим $24 x^{3}$ и $24 x^{3}$ .

$48 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 10 x^{2} - 12 x + 2$

Этап 3.5

Добавим $- 7 x^{2}$ и $10 x^{2}$ .

$48 x^{3} + 3 x^{2} + 34 x + 15 - 12 x + 2$

Этап 3.6

Вычтем $12 x$ из $34 x$ .

$48 x^{3} + 3 x^{2} + 22 x + 15 + 2$

Этап 3.7

Добавим $15$ и $2$ .

$48 x^{3} + 3 x^{2} + 22 x + 17$