Математический анализ Примеры

$f (x) = (9 x^{2} + 4 x) (x^{3} - 5 x^{2})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 9 x^{2} + 4 x$ и $g (x) = x^{3} - 5 x^{2}$ .

$(9 x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 5 x^{2}] + (x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 4 x]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 5 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$(9 x^{2} + 4 x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + (x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 4 x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$(9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + (x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 4 x]$

Этап 2.3

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{2}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 4 x]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 5 (2 x)) + (x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 4 x]$

Этап 2.5

Умножим $2$ на $- 5$ .

$(9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 10 x) + (x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 4 x]$

Этап 2.6

По правилу суммы производная $9 x^{2} + 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$(9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 10 x) + (x^{3} - 5 x^{2}) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 2.7

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 10 x) + (x^{3} - 5 x^{2}) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 10 x) + (x^{3} - 5 x^{2}) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 2.9

Умножим $2$ на $9$ .

$(9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 10 x) + (x^{3} - 5 x^{2}) (18 x + \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 2.10

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 10 x) + (x^{3} - 5 x^{2}) (18 x + 4 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 10 x) + (x^{3} - 5 x^{2}) (18 x + 4 \cdot 1)$

Этап 2.12

Умножим $4$ на $1$ .

$(9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 10 x) + (x^{3} - 5 x^{2}) (18 x + 4)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $1$ из $(9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 10 x) + (x^{3} - 5 x^{2}) (18 x + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $1$ из $(9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 10 x)$ .

$1 ((9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 10 x)) + (x^{3} - 5 x^{2}) (18 x + 4)$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $1$ из $(x^{3} - 5 x^{2}) (18 x + 4)$ .

$1 ((9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 10 x)) + 1 ((x^{3} - 5 x^{2}) (18 x + 4))$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $1$ из $1 ((9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 10 x)) + 1 ((x^{3} - 5 x^{2}) (18 x + 4))$ .

$1 ((9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 10 x) + (x^{3} - 5 x^{2}) (18 x + 4))$

Этап 3.2

Умножим $(9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 10 x) + (x^{3} - 5 x^{2}) (18 x + 4)$ на $1$ .

$(9 x^{2} + 4 x) (3 x^{2} - 10 x) + (x^{3} - 5 x^{2}) (18 x + 4)$

Этап 3.3

Изменим порядок членов.

$(3 x^{2} - 10 x) (9 x^{2} + 4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

Этап 3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Развернем $(3 x^{2} - 10 x) (9 x^{2} + 4 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} (9 x^{2} + 4 x) - 10 x (9 x^{2} + 4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

Этап 3.4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} (9 x^{2}) + 3 x^{2} (4 x) - 10 x (9 x^{2} + 4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

Этап 3.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} (9 x^{2}) + 3 x^{2} (4 x) - 10 x (9 x^{2}) - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

Этап 3.4.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \cdot 9 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} (4 x) - 10 x (9 x^{2}) - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

Этап 3.4.2.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$3 \cdot 9 (x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} (4 x) - 10 x (9 x^{2}) - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

Этап 3.4.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 \cdot 9 x^{2 + 2} + 3 x^{2} (4 x) - 10 x (9 x^{2}) - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

Этап 3.4.2.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$3 \cdot 9 x^{4} + 3 x^{2} (4 x) - 10 x (9 x^{2}) - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

Этап 3.4.2.1.3

Умножим $3$ на $9$ .

$27 x^{4} + 3 x^{2} (4 x) - 10 x (9 x^{2}) - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

Этап 3.4.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$27 x^{4} + 3 \cdot 4 x^{2} x - 10 x (9 x^{2}) - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

Этап 3.4.2.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.5.1

Перенесем $x$ .

$27 x^{4} + 3 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) - 10 x (9 x^{2}) - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

Этап 3.4.2.1.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$27 x^{4} + 3 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) - 10 x (9 x^{2}) - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

Этап 3.4.2.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$27 x^{4} + 3 \cdot 4 x^{1 + 2} - 10 x (9 x^{2}) - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

Этап 3.4.2.1.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$27 x^{4} + 3 \cdot 4 x^{3} - 10 x (9 x^{2}) - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

Этап 3.4.2.1.6

Умножим $3$ на $4$ .

$27 x^{4} + 12 x^{3} - 10 x (9 x^{2}) - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

Этап 3.4.2.1.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$27 x^{4} + 12 x^{3} - 10 \cdot 9 x \cdot x^{2} - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

Этап 3.4.2.1.8

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.8.1

Перенесем $x^{2}$ .

$27 x^{4} + 12 x^{3} - 10 \cdot 9 (x^{2} x) - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

Этап 3.4.2.1.8.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.8.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$27 x^{4} + 12 x^{3} - 10 \cdot 9 (x^{2} x^{1}) - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

Этап 3.4.2.1.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$27 x^{4} + 12 x^{3} - 10 \cdot 9 x^{2 + 1} - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

Этап 3.4.2.1.8.3

Добавим $2$ и $1$ .

$27 x^{4} + 12 x^{3} - 10 \cdot 9 x^{3} - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

Этап 3.4.2.1.9

Умножим $- 10$ на $9$ .

$27 x^{4} + 12 x^{3} - 90 x^{3} - 10 x (4 x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

Этап 3.4.2.1.10

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$27 x^{4} + 12 x^{3} - 90 x^{3} - 10 \cdot 4 x \cdot x + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

Этап 3.4.2.1.11

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.11.1

Перенесем $x$ .

$27 x^{4} + 12 x^{3} - 90 x^{3} - 10 \cdot 4 (x \cdot x) + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

Этап 3.4.2.1.11.2

Умножим $x$ на $x$ .

$27 x^{4} + 12 x^{3} - 90 x^{3} - 10 \cdot 4 x^{2} + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

Этап 3.4.2.1.12

Умножим $- 10$ на $4$ .

$27 x^{4} + 12 x^{3} - 90 x^{3} - 40 x^{2} + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

Этап 3.4.2.2

Вычтем $90 x^{3}$ из $12 x^{3}$ .

$27 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} + (18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$

Этап 3.4.3

Развернем $(18 x + 4) (x^{3} - 5 x^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$27 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} + 18 x (x^{3} - 5 x^{2}) + 4 (x^{3} - 5 x^{2})$

Этап 3.4.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$27 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} + 18 x \cdot x^{3} + 18 x (- 5 x^{2}) + 4 (x^{3} - 5 x^{2})$

Этап 3.4.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$27 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} + 18 x \cdot x^{3} + 18 x (- 5 x^{2}) + 4 x^{3} + 4 (- 5 x^{2})$

Этап 3.4.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.1

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$27 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} + 18 (x^{3} x) + 18 x (- 5 x^{2}) + 4 x^{3} + 4 (- 5 x^{2})$

Этап 3.4.4.1.1.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$27 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} + 18 (x^{3} x^{1}) + 18 x (- 5 x^{2}) + 4 x^{3} + 4 (- 5 x^{2})$

Этап 3.4.4.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$27 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} + 18 x^{3 + 1} + 18 x (- 5 x^{2}) + 4 x^{3} + 4 (- 5 x^{2})$

Этап 3.4.4.1.1.3

Добавим $3$ и $1$ .

$27 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} + 18 x^{4} + 18 x (- 5 x^{2}) + 4 x^{3} + 4 (- 5 x^{2})$

Этап 3.4.4.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$27 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} + 18 x^{4} + 18 \cdot - 5 x \cdot x^{2} + 4 x^{3} + 4 (- 5 x^{2})$

Этап 3.4.4.1.3

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$27 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} + 18 x^{4} + 18 \cdot - 5 (x^{2} x) + 4 x^{3} + 4 (- 5 x^{2})$

Этап 3.4.4.1.3.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$27 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} + 18 x^{4} + 18 \cdot - 5 (x^{2} x^{1}) + 4 x^{3} + 4 (- 5 x^{2})$

Этап 3.4.4.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$27 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} + 18 x^{4} + 18 \cdot - 5 x^{2 + 1} + 4 x^{3} + 4 (- 5 x^{2})$

Этап 3.4.4.1.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$27 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} + 18 x^{4} + 18 \cdot - 5 x^{3} + 4 x^{3} + 4 (- 5 x^{2})$

Этап 3.4.4.1.4

Умножим $18$ на $- 5$ .

$27 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} + 18 x^{4} - 90 x^{3} + 4 x^{3} + 4 (- 5 x^{2})$

Этап 3.4.4.1.5

Умножим $- 5$ на $4$ .

$27 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} + 18 x^{4} - 90 x^{3} + 4 x^{3} - 20 x^{2}$

Этап 3.4.4.2

Добавим $- 90 x^{3}$ и $4 x^{3}$ .

$27 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} + 18 x^{4} - 86 x^{3} - 20 x^{2}$

Этап 3.5

Добавим $27 x^{4}$ и $18 x^{4}$ .

$45 x^{4} - 78 x^{3} - 40 x^{2} - 86 x^{3} - 20 x^{2}$

Этап 3.6

Вычтем $86 x^{3}$ из $- 78 x^{3}$ .

$45 x^{4} - 164 x^{3} - 40 x^{2} - 20 x^{2}$

Этап 3.7

Вычтем $20 x^{2}$ из $- 40 x^{2}$ .

$45 x^{4} - 164 x^{3} - 60 x^{2}$