Математический анализ Примеры

$f (x) = {(3 x^{4} - 8 x)}^{3} + \sqrt{x}$

Этап 1

По правилу суммы производная ${(3 x^{4} - 8 x)}^{3} + \sqrt{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [{(3 x^{4} - 8 x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 x^{4} - 8 x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [{(3 x^{4} - 8 x)}^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 3 x^{4} - 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x^{4} - 8 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 8 x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 8 x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x^{4} - 8 x$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 8 x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $3 x^{4} - 8 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Этап 2.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Этап 2.5

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (3 (4 x^{3}) - 8 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (3 (4 x^{3}) - 8 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Этап 2.7

Умножим $4$ на $3$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Этап 2.8

Умножим $- 8$ на $1$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Этап 3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Этап 3.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Этап 4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.1.2

Чтобы записать $3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.1.3

Объединим $3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8)$ и $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) (2 x^{\frac{1}{2}}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.1.5

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{6 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}} {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$