Математический анализ Примеры

$f (t) = {(t + 5)}^{2} e^{4 t}$

Этап 1

Перепишем ${(t + 5)}^{2}$ в виде $(t + 5) (t + 5)$ .

$\frac{d}{d t} [(t + 5) (t + 5) e^{4 t}]$

Этап 2

Развернем $(t + 5) (t + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d t} [(t (t + 5) + 5 (t + 5)) e^{4 t}]$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d t} [(t \cdot t + t \cdot 5 + 5 (t + 5)) e^{4 t}]$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d t} [(t \cdot t + t \cdot 5 + 5 t + 5 \cdot 5) e^{4 t}]$

Этап 3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{d}{d t} [(t^{2} + t \cdot 5 + 5 t + 5 \cdot 5) e^{4 t}]$

Этап 3.1.2

Перенесем $5$ влево от $t$ .

$\frac{d}{d t} [(t^{2} + 5 \cdot t + 5 t + 5 \cdot 5) e^{4 t}]$

Этап 3.1.3

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{d}{d t} [(t^{2} + 5 t + 5 t + 25) e^{4 t}]$

Этап 3.2

Добавим $5 t$ и $5 t$ .

$\frac{d}{d t} [(t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t^{2} + 10 t + 25$ и $g (t) = e^{4 t}$ .

$(t^{2} + 10 t + 25) \frac{d}{d t} [e^{4 t}] + e^{4 t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]$

Этап 5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = e^{t}$ и $g (t) = 4 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 t$ .

$(t^{2} + 10 t + 25) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [4 t]) + e^{4 t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$(t^{2} + 10 t + 25) (e^{u} \frac{d}{d t} [4 t]) + e^{4 t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 t$ .

$(t^{2} + 10 t + 25) (e^{4 t} \frac{d}{d t} [4 t]) + e^{4 t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $4$ является константой относительно $t$ , производная $4 t$ по $t$ равна $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$(t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} (4 \frac{d}{d t} [t]) + e^{4 t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} (4 \cdot 1) + e^{4 t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]$

Этап 6.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $4$ на $1$ .

$(t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} \cdot 4 + e^{4 t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]$

Этап 6.3.2

Перенесем $4$ влево от $(t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t}$ .

$4 \cdot ((t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t}) + e^{4 t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]$

Этап 6.4

По правилу суммы производная $t^{2} + 10 t + 25$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$4 (t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} + e^{4 t} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25])$

Этап 6.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} + e^{4 t} (2 t + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25])$

Этап 6.6

Поскольку $10$ является константой относительно $t$ , производная $10 t$ по $t$ равна $10 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 (t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} + e^{4 t} (2 t + 10 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25])$

Этап 6.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} + e^{4 t} (2 t + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25])$

Этап 6.8

Умножим $10$ на $1$ .

$4 (t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} + e^{4 t} (2 t + 10 + \frac{d}{d t} [25])$

Этап 6.9

Поскольку $25$ является константой относительно $t$ , производная $25$ относительно $t$ равна $0$ .

$4 (t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} + e^{4 t} (2 t + 10 + 0)$

Этап 6.10

Добавим $2 t + 10$ и $0$ .

$4 (t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} + e^{4 t} (2 t + 10)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 t^{2} + 4 (10 t) + 4 \cdot 25) e^{4 t} + e^{4 t} (2 t + 10)$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 t^{2} e^{4 t} + 4 (10 t) e^{4 t} + 4 \cdot 25 e^{4 t} + e^{4 t} (2 t + 10)$

Этап 7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 t^{2} e^{4 t} + 4 (10 t) e^{4 t} + 4 \cdot 25 e^{4 t} + e^{4 t} (2 t) + e^{4 t} \cdot 10$

Этап 7.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $10$ на $4$ .

$4 t^{2} e^{4 t} + 40 t e^{4 t} + 4 \cdot 25 e^{4 t} + e^{4 t} (2 t) + e^{4 t} \cdot 10$

Этап 7.4.2

Умножим $4$ на $25$ .

$4 t^{2} e^{4 t} + 40 t e^{4 t} + 100 e^{4 t} + e^{4 t} (2 t) + e^{4 t} \cdot 10$

Этап 7.4.3

Перенесем $10$ влево от $e^{4 t}$ .

$4 t^{2} e^{4 t} + 40 t e^{4 t} + 100 e^{4 t} + e^{4 t} (2 t) + 10 \cdot e^{4 t}$

Этап 7.4.4

Добавим $40 t e^{4 t}$ и $e^{4 t} (2 t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.4.1

Перенесем $e^{4 t}$ .

$4 t^{2} e^{4 t} + 40 t e^{4 t} + 2 t e^{4 t} + 100 e^{4 t} + 10 e^{4 t}$

Этап 7.4.4.2

Добавим $40 t e^{4 t}$ и $2 t e^{4 t}$ .

$4 t^{2} e^{4 t} + 42 t e^{4 t} + 100 e^{4 t} + 10 e^{4 t}$

Этап 7.4.5

Добавим $100 e^{4 t}$ и $10 e^{4 t}$ .

$4 t^{2} e^{4 t} + 42 t e^{4 t} + 110 e^{4 t}$

Этап 7.5

Изменим порядок членов.

$4 e^{4 t} t^{2} + 42 e^{4 t} t + 110 e^{4 t}$

Этап 7.6

Изменим порядок множителей в $4 e^{4 t} t^{2} + 42 e^{4 t} t + 110 e^{4 t}$ .

$4 t^{2} e^{4 t} + 42 t e^{4 t} + 110 e^{4 t}$