Математический анализ Примеры

$f (t) = \sqrt[3]{t^{2} - 5} {(3 t - 5)}^{3}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{t^{2} - 5}$ в виде ${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{3}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}$ и $g (t) = {(3 t - 5)}^{3}$ .

${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [{(3 t - 5)}^{3}] + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{3}$ и $g (t) = 3 t - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $3 t - 5$ .

${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d t} [3 t - 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d t} [3 t - 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 t - 5$ .

${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} (3 {(3 t - 5)}^{2} \frac{d}{d t} [3 t - 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $3$ влево от ${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3 \cdot {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} \frac{d}{d t} [3 t - 5] + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 4.2

По правилу суммы производная $3 t - 5$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 4.3

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 4.5

Умножим $3$ на $1$ .

$3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (3 + \frac{d}{d t} [- 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 4.6

Поскольку $- 5$ является константой относительно $t$ , производная $- 5$ относительно $t$ равна $0$ .

$3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (3 + 0) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 4.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Добавим $3$ и $0$ .

$3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} \cdot 3 + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 4.7.2

Умножим $3$ на $3$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $t^{2} - 5$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $t^{2} - 5$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Этап 6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Этап 7

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Этап 9.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Этап 10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Этап 10.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(t^{2} - 5)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{{(t^{2} - 5)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Этап 10.3

Перенесем ${(t^{2} - 5)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Этап 10.4

Объединим $\frac{1}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ и ${(3 t - 5)}^{3}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{{(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5]$

Этап 11

По правилу суммы производная $t^{2} - 5$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{{(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5])$

Этап 12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{{(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 t + \frac{d}{d t} [- 5])$

Этап 13

Поскольку $- 5$ является константой относительно $t$ , производная $- 5$ относительно $t$ равна $0$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{{(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 t + 0)$

Этап 14

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Добавим $2 t$ и $0$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{{(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 t)$

Этап 14.2

Объединим $2$ и $\frac{{(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{2 {(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} t$

Этап 14.3

Объединим $\frac{2 {(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ и $t$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15

Чтобы записать $9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} \cdot \frac{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 16

Объединим $9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2}$ и $\frac{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}) + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 18

Умножим $3$ на $9$ .

$\frac{27 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 19

Умножим ${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}$ на ${(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Перенесем ${(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{27 ({(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}} {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}) {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 19.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{27 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 19.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{27 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2 + 1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 19.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{27 {(t^{2} - 5)}^{\frac{3}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 19.5

Разделим $3$ на $3$ .

$\frac{27 {(t^{2} - 5)}^{1} {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 20

Упростим $27 {(t^{2} - 5)}^{1} {(3 t - 5)}^{2}$ .

$\frac{27 (t^{2} - 5) {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(27 t^{2} + 27 \cdot - 5) {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.2.1

Вынесем множитель ${(3 t - 5)}^{2}$ из $(27 t^{2} + 27 \cdot - 5) {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.2.1.1

Вынесем множитель ${(3 t - 5)}^{2}$ из $(27 t^{2} + 27 \cdot - 5) {(3 t - 5)}^{2}$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} + 27 \cdot - 5) + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21.2.1.2

Вынесем множитель ${(3 t - 5)}^{2}$ из $2 {(3 t - 5)}^{3} t$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} + 27 \cdot - 5) + {(3 t - 5)}^{2} (2 (3 t - 5) t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21.2.1.3

Вынесем множитель ${(3 t - 5)}^{2}$ из ${(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} + 27 \cdot - 5) + {(3 t - 5)}^{2} (2 (3 t - 5) t)$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} + 27 \cdot - 5 + 2 (3 t - 5) t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21.2.2

Умножим $27$ на $- 5$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + 2 (3 t - 5) t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + (2 (3 t) + 2 \cdot - 5) t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21.2.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + (6 t + 2 \cdot - 5) t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21.2.5

Умножим $2$ на $- 5$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + (6 t - 10) t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21.2.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + 6 t \cdot t - 10 t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21.2.7

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.2.7.1

Перенесем $t$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + 6 (t \cdot t) - 10 t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21.2.7.2

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + 6 t^{2} - 10 t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21.2.8

Добавим $27 t^{2}$ и $6 t^{2}$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (33 t^{2} - 135 - 10 t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21.2.9

Изменим порядок членов.

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (33 t^{2} - 10 t - 135)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$