Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{\csc^{5} (x)}$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $\frac{1}{\csc^{5} (x)}$ в виде ${(\csc^{5} (x))}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\csc^{5} (x))}^{- 1}]$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${(\csc^{5} (x))}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{\csc (x)}^{5 \cdot - 1}]$

Этап 1.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [\csc^{- 5} (x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 5}$ и $g (x) = \csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 5}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 5$ .

$- 5 u^{- 6} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\csc (x)$ .

$- 5 \csc^{- 6} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Этап 3

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 5 \csc^{- 6} (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Этап 4

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$5 \csc^{- 6} (x) (\csc (x) \cot (x))$

Этап 5

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$5 (\csc^{1} (x) \csc^{- 6} (x)) \cot (x)$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 {\csc (x)}^{1 - 6} \cot (x)$

Этап 7

Вычтем $6$ из $1$ .

$5 \csc^{- 5} (x) \cot (x)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 \frac{1}{\csc^{5} (x)} \cot (x)$

Этап 8.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $5$ и $\frac{1}{\csc^{5} (x)}$ .

$\frac{5}{\csc^{5} (x)} \cot (x)$

Этап 8.2.2

Объединим $\frac{5}{\csc^{5} (x)}$ и $\cot (x)$ .

$\frac{5 \cot (x)}{\csc^{5} (x)}$

Этап 8.3

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $\csc^{5} (x)$ .

$\frac{5 \cot (x)}{\csc (x) \csc^{4} (x)}$

Этап 8.4

Разделим дроби.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cdot \frac{\cot (x)}{\csc (x)}$

Этап 8.5

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cdot \frac{\cot (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Этап 8.6

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Этап 8.7

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x))$

Этап 8.8

Запишем $\sin (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1})$

Этап 8.9

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1})$

Этап 8.9.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cos (x)$

Этап 8.10

Объединим $\frac{5}{\csc^{4} (x)}$ и $\cos (x)$ .

$\frac{5 \cos (x)}{\csc^{4} (x)}$

Этап 8.11

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $\csc^{4} (x)$ .

$\frac{5 \cos (x)}{\csc (x) \csc^{3} (x)}$

Этап 8.12

Разделим дроби.

$\frac{5}{\csc^{3} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\csc (x)}$

Этап 8.13

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{5}{\csc^{3} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Этап 8.14

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5}{\csc^{3} (x)} (\cos (x) \sin (x))$

Этап 8.15

Умножим $\frac{5}{\csc^{3} (x)} (\cos (x) \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.15.1

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{5}{\csc^{3} (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 5}{\csc^{3} (x)} \sin (x)$

Этап 8.15.2

Объединим $\frac{\cos (x) \cdot 5}{\csc^{3} (x)}$ и $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 5 \sin (x)}{\csc^{3} (x)}$

Этап 8.16

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $\csc^{3} (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 5 \sin (x)}{\csc (x) \csc^{2} (x)}$

Этап 8.17

Разделим дроби.

$\frac{5 \sin (x)}{\csc^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\csc (x)}$

Этап 8.18

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{5 \sin (x)}{\csc^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Этап 8.19

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5 \sin (x)}{\csc^{2} (x)} (\cos (x) \sin (x))$

Этап 8.20

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{5 \sin (x)}{\csc (x) \csc (x)} (\cos (x) \sin (x))$

Этап 8.21

Разделим дроби.

$\frac{5}{\csc (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\csc (x)} (\cos (x) \sin (x))$

Этап 8.22

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{5}{\csc (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)}} (\cos (x) \sin (x))$

Этап 8.23

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin (x) \sin (x)) (\cos (x) \sin (x))$

Этап 8.24

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.24.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin^{1} (x) \sin (x)) (\cos (x) \sin (x))$

Этап 8.24.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) (\cos (x) \sin (x))$

Этап 8.24.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5}{\csc (x)} {\sin (x)}^{1 + 1} (\cos (x) \sin (x))$

Этап 8.24.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{5}{\csc (x)} \sin^{2} (x) (\cos (x) \sin (x))$

Этап 8.25

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $\sin (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.25.1

Перенесем $\sin (x)$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin (x) \sin^{2} (x)) \cos (x)$

Этап 8.25.2

Умножим $\sin (x)$ на $\sin^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.25.2.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x)) \cos (x)$

Этап 8.25.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5}{\csc (x)} {\sin (x)}^{1 + 2} \cos (x)$

Этап 8.25.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{5}{\csc (x)} \sin^{3} (x) \cos (x)$

Этап 8.26

Разделим дроби.

$\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\csc (x)} \sin^{3} (x) \cos (x)$

Этап 8.27

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}} \sin^{3} (x) \cos (x)$

Этап 8.28

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5}{1} (1 \sin (x)) \sin^{3} (x) \cos (x)$

Этап 8.29

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{5}{1} \sin (x) \sin^{3} (x) \cos (x)$

Этап 8.30

Умножим $\sin (x)$ на $\sin^{3} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.30.1

Перенесем $\sin^{3} (x)$ .

$\frac{5}{1} (\sin^{3} (x) \sin (x)) \cos (x)$

Этап 8.30.2

Умножим $\sin^{3} (x)$ на $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.30.2.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{5}{1} (\sin^{3} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x)$

Этап 8.30.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5}{1} {\sin (x)}^{3 + 1} \cos (x)$

Этап 8.30.3

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{5}{1} \sin^{4} (x) \cos (x)$

Этап 8.31

Разделим $5$ на $1$ .

$5 \sin^{4} (x) \cos (x)$