Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{3}}{e^{3 x}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{{(e^{3 x})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{3 x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{3 x \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - x^{3} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - x^{3} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

Этап 4.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - 3 x^{3} (e^{3 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - 3 x^{3} (e^{3 x} \cdot 1)}{e^{6 x}}$

Этап 4.4

Умножим $e^{3 x}$ на $1$ .

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - 3 x^{3} e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 e^{3 x} x^{2} - 3 x^{3} e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Этап 5.1.2

Изменим порядок множителей в $3 e^{3 x} x^{2} - 3 x^{3} e^{3 x}$ .

$\frac{3 x^{2} e^{3 x} - 3 x^{3} e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Этап 5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{3 e^{3 x} x^{2} - 3 e^{3 x} x^{3}}{e^{6 x}}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $3 e^{3 x} x^{2}$ из $3 e^{3 x} x^{2} - 3 e^{3 x} x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $3 e^{3 x} x^{2}$ из $3 e^{3 x} x^{2}$ .

$\frac{3 e^{3 x} x^{2} (1) - 3 e^{3 x} x^{3}}{e^{6 x}}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $3 e^{3 x} x^{2}$ из $- 3 e^{3 x} x^{3}$ .

$\frac{3 e^{3 x} x^{2} (1) + 3 e^{3 x} x^{2} (- x)}{e^{6 x}}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $3 e^{3 x} x^{2}$ из $3 e^{3 x} x^{2} (1) + 3 e^{3 x} x^{2} (- x)$ .

$\frac{3 e^{3 x} x^{2} (1 - x)}{e^{6 x}}$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $e^{3 x}$ и $e^{6 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $e^{6 x}$ из $3 e^{3 x} x^{2} (1 - x)$ .

$\frac{e^{6 x} (3 e^{- 3 x} x^{2} (1 - x))}{e^{6 x}}$

Этап 5.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{e^{6 x} (3 e^{- 3 x} x^{2} (1 - x))}{e^{6 x} \cdot 1}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{6 x} (3 e^{- 3 x} x^{2} (1 - x))}{e^{6 x} \cdot 1}$

Этап 5.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 e^{- 3 x} x^{2} (1 - x)}{1}$

Этап 5.4.2.4

Разделим $3 e^{- 3 x} x^{2} (1 - x)$ на $1$ .

$3 e^{- 3 x} x^{2} (1 - x)$

Этап 5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$3 e^{- 3 x} x^{2} \cdot 1 + 3 e^{- 3 x} x^{2} (- x)$

Этап 5.6

Умножим $3$ на $1$ .

$3 e^{- 3 x} x^{2} + 3 e^{- 3 x} x^{2} (- x)$

Этап 5.7

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Перенесем $x$ .

$3 e^{- 3 x} x^{2} + 3 e^{- 3 x} (x \cdot x^{2}) \cdot - 1$

Этап 5.7.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 e^{- 3 x} x^{2} + 3 e^{- 3 x} (x^{1} x^{2}) \cdot - 1$

Этап 5.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 e^{- 3 x} x^{2} + 3 e^{- 3 x} x^{1 + 2} \cdot - 1$

Этап 5.7.3

Добавим $1$ и $2$ .

$3 e^{- 3 x} x^{2} + 3 e^{- 3 x} x^{3} \cdot - 1$

Этап 5.8

Умножим $- 1$ на $3$ .

$3 e^{- 3 x} x^{2} - 3 e^{- 3 x} x^{3}$

Этап 5.9

Изменим порядок множителей в $3 e^{- 3 x} x^{2} - 3 e^{- 3 x} x^{3}$ .

$3 x^{2} e^{- 3 x} - 3 x^{3} e^{- 3 x}$