Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} + 11}{\sqrt{x}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 11}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} + 11$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11] - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11] - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11] - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11] - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Этап 4

Упростим.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11] - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 5

По правилу суммы производная $x^{2} + 11$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]) - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [11]) - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 7

Поскольку $11$ является константой относительно $x$ , производная $11$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 0) - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 8

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x) - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 9

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 9.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2 - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 9.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 9.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2 - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 9.5

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 10

Перенесем $2$ влево от $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

Этап 12

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

Этап 13

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Этап 14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Этап 15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

Этап 15.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

Этап 16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Этап 17

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

Этап 18

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + (- x^{2} - 1 \cdot 11) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.1.1.1

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $- x^{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.1.1.2

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} - 1 \cdot 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} - 1 \cdot 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.1.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} - 1 \cdot 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 1 \cdot 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.1.3

Умножим $- 1$ на $11$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.1.4

Объединим $- 11$ и $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.2

Чтобы записать $2 x^{\frac{3}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.3

Объединим $2 x^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.5.1.1

Вынесем множитель $x^{\frac{3}{2}}$ из $2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.5.1.1.1

Перенесем $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.5.1.1.2

Вынесем множитель $x^{\frac{3}{2}}$ из $2 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2) - x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.5.1.1.3

Вынесем множитель $x^{\frac{3}{2}}$ из $- x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2) + x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.5.1.1.4

Вынесем множитель $x^{\frac{3}{2}}$ из $x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2) + x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2 - 1)}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.5.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (4 - 1)}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.5.1.3

Вычтем $1$ из $4$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.5.2

Перенесем $3$ влево от $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.1

Умножим $\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.4.2

Объединим.

$\frac{2 (\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Этап 19.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (- \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Этап 19.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (- \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Этап 19.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + 2 (- \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Этап 19.4.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} - 2 \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Этап 19.4.6

Объединим $- 2$ и $\frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 \cdot 11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Этап 19.4.7

Умножим $- 2$ на $11$ .

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 22}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Этап 19.4.8

Вынесем множитель $2$ из $- 22$ .

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Этап 19.4.9

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.9.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 11}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{2 x}$

Этап 19.4.9.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Этап 19.4.9.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Этап 19.4.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} - \frac{11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Этап 19.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.5.1

Чтобы записать $3 x^{\frac{3}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Этап 19.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Этап 19.5.3

Умножим $x^{\frac{3}{2}}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.5.3.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) - 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Этап 19.5.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} - 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Этап 19.5.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1 + 3}{2}} - 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Этап 19.5.3.4

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{4}{2}} - 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Этап 19.5.3.5

Разделим $4$ на $2$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Этап 19.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Этап 19.7

Умножим $\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.7.1

Умножим $\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{1}{2}} (2 x)}$

Этап 19.7.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.7.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 11}{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Этап 19.7.2.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.7.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Этап 19.7.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Этап 19.7.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Этап 19.7.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2}$

Этап 19.7.2.5

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Этап 19.8

Перенесем $2$ влево от $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} - 11}{2 x^{\frac{3}{2}}}$