Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{\sqrt{\ln (x)}}{x}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\ln (x)}$ в виде ${\ln (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}{x}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [{\ln (x)}^{\frac{1}{2}}] - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\ln (x)$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (x)$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x (\frac{1}{2} {\ln (x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${\ln (x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (\frac{{\ln (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 8.3

Перенесем ${\ln (x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 8.4

Объединим $\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{\frac{x}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 9

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 10

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $\frac{x}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 10.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{x}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 10.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 11

Умножим $\frac{\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ на $\frac{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 12

Объединим.

$\frac{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} - {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 13

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} (- {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 14

Сократим общий множитель $2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} (- {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 14.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 + 2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} (- {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 15

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1 - 2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} ({\ln (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 16

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 - 2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 17

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - 2 {\ln (x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 17.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1 - 2 {\ln (x)}^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 18

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 - 2 {\ln (x)}^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 18.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - 2 \ln^{1} (x) \frac{d}{d x} [x]}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 19

Упростим.

$\frac{1 - 2 \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 20

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1 - 2 \ln (x) \cdot 1}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 21

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 22

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Упростим $- 2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 22.2

Изменим порядок членов.

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{2 x^{2} {\ln (x)}^{\frac{1}{2}}}$