Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{{(x + 4)}^{12}}{{(3 x - 9)}^{11}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = {(x + 4)}^{12}$ и $g (x) = {(3 x - 9)}^{11}$ .

$\frac{{(3 x - 9)}^{11} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{12}] - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{({(3 x - 9)}^{11})}^{2}}$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${({(3 x - 9)}^{11})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(3 x - 9)}^{11} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{12}] - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{11 \cdot 2}}$

Этап 2.2

Умножим $11$ на $2$ .

$\frac{{(3 x - 9)}^{11} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{12}] - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{12}$ и $g (x) = x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x + 4$ .

$\frac{{(3 x - 9)}^{11} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{12}] \frac{d}{d x} [x + 4]) - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 12$ .

$\frac{{(3 x - 9)}^{11} (12 {u_{1}}^{11} \frac{d}{d x} [x + 4]) - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x + 4$ .

$\frac{{(3 x - 9)}^{11} (12 {(x + 4)}^{11} \frac{d}{d x} [x + 4]) - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $12$ влево от ${(3 x - 9)}^{11}$ .

$\frac{12 \cdot {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} \frac{d}{d x} [x + 4] - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 4.2

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} (1 + \frac{d}{d x} [4]) - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 4.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} (1 + 0) - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} \cdot 1 - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 4.5.2

Умножим $12$ на $1$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x - 9$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - {(x + 4)}^{12} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{11}] \frac{d}{d x} [3 x - 9])}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 11$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - {(x + 4)}^{12} (11 {u_{2}}^{10} \frac{d}{d x} [3 x - 9])}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x - 9$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - {(x + 4)}^{12} (11 {(3 x - 9)}^{10} \frac{d}{d x} [3 x - 9])}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $11$ на $- 1$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 11 {(x + 4)}^{12} ({(3 x - 9)}^{10} \frac{d}{d x} [3 x - 9])}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 6.2

По правилу суммы производная $3 x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 11 {(x + 4)}^{12} ({(3 x - 9)}^{10} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 6.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 11 {(x + 4)}^{12} ({(3 x - 9)}^{10} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 6.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 11 {(x + 4)}^{12} ({(3 x - 9)}^{10} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 6.5

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 11 {(x + 4)}^{12} ({(3 x - 9)}^{10} (3 + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 6.6

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 11 {(x + 4)}^{12} ({(3 x - 9)}^{10} (3 + 0))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 6.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 11 {(x + 4)}^{12} ({(3 x - 9)}^{10} \cdot 3)}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 6.7.2

Перенесем $3$ влево от ${(3 x - 9)}^{10}$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 11 {(x + 4)}^{12} (3 \cdot {(3 x - 9)}^{10})}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 6.7.3

Умножим $3$ на $- 11$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 33 {(x + 4)}^{12} {(3 x - 9)}^{10}}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11}$ из $12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 33 {(x + 4)}^{12} {(3 x - 9)}^{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Вынесем множитель $3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11}$ из $12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11}$ .

$\frac{3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9)) - 33 {(x + 4)}^{12} {(3 x - 9)}^{10}}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 7.1.1.2

Вынесем множитель $3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11}$ из $- 33 {(x + 4)}^{12} {(3 x - 9)}^{10}$ .

$\frac{3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9)) + 3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11} (- 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 7.1.1.3

Вынесем множитель $3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11}$ из $3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9)) + 3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11} (- 11 (x + 4))$ .

$\frac{3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{3 {(3 (x) - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 7.1.2.2

Вынесем множитель $3$ из $- 9$ .

$\frac{3 {(3 x + 3 \cdot - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 7.1.2.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 3 \cdot - 3$ .

$\frac{3 {(3 (x - 3))}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 7.1.3

Применим правило умножения к $3 (x - 3)$ .

$\frac{3 \cdot 3^{10} {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 7.1.4

Умножим $3$ на $3^{10}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Умножим $3$ на $3^{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$\frac{3^{1} \cdot 3^{10} {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 7.1.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3^{1 + 10} {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 7.1.4.2

Добавим $1$ и $10$ .

$\frac{3^{11} {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 7.1.5

Возведем $3$ в степень $11$ .

$\frac{177147 {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 7.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{177147 {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x) + 4 \cdot - 9 - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 7.1.6.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{177147 {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (12 x + 4 \cdot - 9 - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 7.1.6.3

Умножим $4$ на $- 9$ .

$\frac{177147 {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (12 x - 36 - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 7.1.6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{177147 {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (12 x - 36 - 11 x - 11 \cdot 4)}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 7.1.6.5

Умножим $- 11$ на $4$ .

$\frac{177147 {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (12 x - 36 - 11 x - 44)}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 7.1.7

Вычтем $11 x$ из $12 x$ .

$\frac{177147 {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (x - 36 - 44)}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 7.1.8

Вычтем $44$ из $- 36$ .

$\frac{177147 {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (x - 80)}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 7.2

Изменим порядок членов.

$\frac{177147 {(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Этап 7.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{177147 {(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)}{{(3 (x) - 9)}^{22}}$

Этап 7.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 9$ .

$\frac{177147 {(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)}{{(3 x + 3 \cdot - 3)}^{22}}$

Этап 7.3.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 3 \cdot - 3$ .

$\frac{177147 {(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)}{{(3 (x - 3))}^{22}}$

Этап 7.3.2

Применим правило умножения к $3 (x - 3)$ .

$\frac{177147 {(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)}{3^{22} {(x - 3)}^{22}}$

Этап 7.3.3

Возведем $3$ в степень $22$ .

$\frac{177147 {(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)}{31381059609 {(x - 3)}^{22}}$

Этап 7.4

Сократим общий множитель $177147$ и $31381059609$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вынесем множитель $177147$ из $177147 {(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)$ .

$\frac{177147 ({(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80))}{31381059609 {(x - 3)}^{22}}$

Этап 7.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Вынесем множитель $177147$ из $31381059609 {(x - 3)}^{22}$ .

$\frac{177147 ({(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80))}{177147 (177147 {(x - 3)}^{22})}$

Этап 7.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{177147 ({(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80))}{177147 (177147 {(x - 3)}^{22})}$

Этап 7.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{{(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)}{177147 {(x - 3)}^{22}}$

Этап 7.5

Сократим общий множитель ${(x - 3)}^{10}$ и ${(x - 3)}^{22}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель ${(x - 3)}^{10}$ из ${(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)$ .

$\frac{{(x - 3)}^{10} ({(x + 4)}^{11} (x - 80))}{177147 {(x - 3)}^{22}}$

Этап 7.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Вынесем множитель ${(x - 3)}^{10}$ из $177147 {(x - 3)}^{22}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{10} ({(x + 4)}^{11} (x - 80))}{{(x - 3)}^{10} (177147 {(x - 3)}^{12})}$

Этап 7.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(x - 3)}^{10} ({(x + 4)}^{11} (x - 80))}{{(x - 3)}^{10} (177147 {(x - 3)}^{12})}$

Этап 7.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{{(x + 4)}^{11} (x - 80)}{177147 {(x - 3)}^{12}}$