Математический анализ Примеры

$f (x) = {(x - 2 \ln (x))}^{4}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = x - 2 \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 2 \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x - 2 \ln (x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x - 2 \ln (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 2 \ln (x)$ .

$4 {(x - 2 \ln (x))}^{3} \frac{d}{d x} [x - 2 \ln (x)]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x - 2 \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]$ .

$4 {(x - 2 \ln (x))}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 {(x - 2 \ln (x))}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)])$

Этап 2.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \ln (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 {(x - 2 \ln (x))}^{3} (1 - 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$4 {(x - 2 \ln (x))}^{3} (1 - 2 \frac{1}{x})$

Этап 4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x}$ .

$4 {(x - 2 \ln (x))}^{3} (1 + \frac{- 2}{x})$

Этап 4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 {(x - 2 \ln (x))}^{3} (1 - \frac{2}{x})$