Математический анализ Примеры

$f (x) = {(9 x^{2} + 7)}^{2}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 9 x^{2} + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $9 x^{2} + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 7]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 7]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $9 x^{2} + 7$ .

$2 (9 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 7]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $9 x^{2} + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$2 (9 x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 2.2

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (9 x^{2} + 7) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (9 x^{2} + 7) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $9$ .

$2 (9 x^{2} + 7) (18 x + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 2.5

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (9 x^{2} + 7) (18 x + 0)$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $18 x$ и $0$ .

$2 (9 x^{2} + 7) (18 x)$

Этап 2.6.2

Умножим $18$ на $2$ .

$36 (9 x^{2} + 7) x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(36 (9 x^{2}) + 36 \cdot 7) x$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$36 (9 x^{2}) x + 36 \cdot 7 x$

Этап 3.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $9$ на $36$ .

$324 x^{2} x + 36 \cdot 7 x$

Этап 3.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$324 (x^{1} x^{2}) + 36 \cdot 7 x$

Этап 3.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$324 x^{1 + 2} + 36 \cdot 7 x$

Этап 3.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$324 x^{3} + 36 \cdot 7 x$

Этап 3.3.5

Умножим $36$ на $7$ .

$324 x^{3} + 252 x$