Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{4 x - 1}{x^{2} + 1}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 4 x - 1$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1] - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.4

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (4 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (4 + 0) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 4 - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.6.2

Перенесем $4$ влево от $x^{2} + 1$ .

$\frac{4 \cdot (x^{2} + 1) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4 (x^{2} + 1) - (4 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{4 (x^{2} + 1) - (4 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.9

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4 (x^{2} + 1) - (4 x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{4 (x^{2} + 1) - (4 x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.10.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{4 (x^{2} + 1) - 2 (4 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot 1 - 2 (4 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot 1 + (- 2 (4 x) - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot 1 - 2 (4 x) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 - 2 (4 x) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 - 2 (4 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 - 2 (4 x^{2}) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.3

Умножим $4$ на $- 2$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 - 8 x^{2} - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.4

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 - 8 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Вычтем $8 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4 + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.5

Изменим порядок членов.

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.6

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x^{2} + 2 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x^{2}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 x + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.6.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 (x) + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.6.3

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 x + 2 \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.6.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 2 x^{2}) + 2 x$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} + x) + 2 \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.6.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 2 x^{2} + x) + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} + x + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- (2 x^{2}) + x + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$\frac{2 (- (2 x^{2}) - 1 (- x) + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{2}) - 1 (- x)$ .

$\frac{2 (- (2 x^{2} - x) + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.10

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$\frac{2 (- (2 x^{2} - x) - 1 (- 2))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{2} - x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{2 (- (2 x^{2} - x - 2))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.12

Перепишем $- (2 x^{2} - x - 2)$ в виде $- 1 (2 x^{2} - x - 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (2 x^{2} - x - 2))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 (2 x^{2} - x - 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$