Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{3 x}{{(2 - 5 x)}^{5}}$

Этап 1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 x}{{(2 - 5 x)}^{5}}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 - 5 x)}^{5}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 - 5 x)}^{5}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(2 - 5 x)}^{5}$ .

$3 \frac{{(2 - 5 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 - 5 x)}^{5}]}{{({(2 - 5 x)}^{5})}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 - 5 x)}^{5})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{{(2 - 5 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 - 5 x)}^{5}]}{{(2 - 5 x)}^{5 \cdot 2}}$

Этап 3.1.2

Умножим $5$ на $2$ .

$3 \frac{{(2 - 5 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 - 5 x)}^{5}]}{{(2 - 5 x)}^{10}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \frac{{(2 - 5 x)}^{5} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(2 - 5 x)}^{5}]}{{(2 - 5 x)}^{10}}$

Этап 3.3

Умножим ${(2 - 5 x)}^{5}$ на $1$ .

$3 \frac{{(2 - 5 x)}^{5} - x \frac{d}{d x} [{(2 - 5 x)}^{5}]}{{(2 - 5 x)}^{10}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = 2 - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 - 5 x$ .

$3 \frac{{(2 - 5 x)}^{5} - x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [2 - 5 x])}{{(2 - 5 x)}^{10}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$3 \frac{{(2 - 5 x)}^{5} - x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [2 - 5 x])}{{(2 - 5 x)}^{10}}$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 - 5 x$ .

$3 \frac{{(2 - 5 x)}^{5} - x (5 {(2 - 5 x)}^{4} \frac{d}{d x} [2 - 5 x])}{{(2 - 5 x)}^{10}}$

Этап 5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $5$ на $- 1$ .

$3 \frac{{(2 - 5 x)}^{5} - 5 x ({(2 - 5 x)}^{4} \frac{d}{d x} [2 - 5 x])}{{(2 - 5 x)}^{10}}$

Этап 5.2

Вынесем множитель ${(2 - 5 x)}^{4}$ из ${(2 - 5 x)}^{5} - 5 x ({(2 - 5 x)}^{4} \frac{d}{d x} [2 - 5 x])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель ${(2 - 5 x)}^{4}$ из ${(2 - 5 x)}^{5}$ .

$3 \frac{{(2 - 5 x)}^{4} (2 - 5 x) - 5 x ({(2 - 5 x)}^{4} \frac{d}{d x} [2 - 5 x])}{{(2 - 5 x)}^{10}}$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель ${(2 - 5 x)}^{4}$ из $- 5 x ({(2 - 5 x)}^{4} \frac{d}{d x} [2 - 5 x])$ .

$3 \frac{{(2 - 5 x)}^{4} (2 - 5 x) + {(2 - 5 x)}^{4} (- 5 x (\frac{d}{d x} [2 - 5 x]))}{{(2 - 5 x)}^{10}}$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель ${(2 - 5 x)}^{4}$ из ${(2 - 5 x)}^{4} (2 - 5 x) + {(2 - 5 x)}^{4} (- 5 x (\frac{d}{d x} [2 - 5 x]))$ .

$3 \frac{{(2 - 5 x)}^{4} (2 - 5 x - 5 x (\frac{d}{d x} [2 - 5 x]))}{{(2 - 5 x)}^{10}}$

Этап 6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель ${(2 - 5 x)}^{4}$ из ${(2 - 5 x)}^{10}$ .

$3 \frac{{(2 - 5 x)}^{4} (2 - 5 x - 5 x (\frac{d}{d x} [2 - 5 x]))}{{(2 - 5 x)}^{4} {(2 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель.

$3 \frac{{(2 - 5 x)}^{4} (2 - 5 x - 5 x (\frac{d}{d x} [2 - 5 x]))}{{(2 - 5 x)}^{4} {(2 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.3

Перепишем это выражение.

$3 \frac{2 - 5 x - 5 x (\frac{d}{d x} [2 - 5 x])}{{(2 - 5 x)}^{6}}$

Этап 7

По правилу суммы производная $2 - 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$3 \frac{2 - 5 x - 5 x (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x])}{{(2 - 5 x)}^{6}}$

Этап 8

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 \frac{2 - 5 x - 5 x (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])}{{(2 - 5 x)}^{6}}$

Этап 9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$3 \frac{2 - 5 x - 5 x \frac{d}{d x} [- 5 x]}{{(2 - 5 x)}^{6}}$

Этап 10

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{2 - 5 x - 5 x (- 5 \frac{d}{d x} [x])}{{(2 - 5 x)}^{6}}$

Этап 11

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$3 \frac{2 - 5 x + 25 x \frac{d}{d x} [x]}{{(2 - 5 x)}^{6}}$

Этап 12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \frac{2 - 5 x + 25 x \cdot 1}{{(2 - 5 x)}^{6}}$

Этап 13

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $25$ на $1$ .

$3 \frac{2 - 5 x + 25 x}{{(2 - 5 x)}^{6}}$

Этап 13.2

Добавим $- 5 x$ и $25 x$ .

$3 \frac{2 + 20 x}{{(2 - 5 x)}^{6}}$

Этап 13.3

Объединим $3$ и $\frac{2 + 20 x}{{(2 - 5 x)}^{6}}$ .

$\frac{3 (2 + 20 x)}{{(2 - 5 x)}^{6}}$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \cdot 2 + 3 (20 x)}{{(2 - 5 x)}^{6}}$

Этап 14.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 + 3 (20 x)}{{(2 - 5 x)}^{6}}$

Этап 14.2.2

Умножим $20$ на $3$ .

$\frac{6 + 60 x}{{(2 - 5 x)}^{6}}$

Этап 14.3

Изменим порядок членов.

$\frac{60 x + 6}{{(- 5 x + 2)}^{6}}$