Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{\sqrt[3]{x^{4}}}$

Этап 1

Перепишем $\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{\sqrt[3]{x^{4}}}]$ в виде $\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x \sqrt[3]{x}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем $x^{3}$ за скобки.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{\sqrt[3]{x^{3} x}}]$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x \sqrt[3]{x}}]$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x \cdot x^{\frac{1}{3}}}]$

Этап 3

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x^{1} x^{\frac{1}{3}}}]$

Этап 3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x^{1 + \frac{1}{3}}}]$

Этап 3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}]$

Этап 3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x^{\frac{3 + 1}{3}}}]$

Этап 3.4

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 x^{3} - 7 x^{2}}{x^{\frac{4}{3}}}]$

Этап 4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $6 x^{3} - 7 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $6 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (6 x) - 7 x^{2}}{x^{\frac{4}{3}}}]$

Этап 4.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 7 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 7}{x^{\frac{4}{3}}}]$

Этап 4.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 7$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (6 x - 7)}{x^{\frac{4}{3}}}]$

Этап 5

Перенесем $x^{\frac{4}{3}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (6 x - 7) x^{- \frac{4}{3}}]$

Этап 6

Умножим $x^{2}$ на $x^{- \frac{4}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перенесем $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{3}} x^{2} (6 x - 7)]$

Этап 6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{3} + 2} (6 x - 7)]$

Этап 6.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}} (6 x - 7)]$

Этап 6.4

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}} (6 x - 7)]$

Этап 6.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 4 + 2 \cdot 3}{3}} (6 x - 7)]$

Этап 6.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 4 + 6}{3}} (6 x - 7)]$

Этап 6.6.2

Добавим $- 4$ и $6$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} (6 x - 7)]$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ и $g (x) = 6 x - 7$ .

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [6 x - 7] + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 8

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

По правилу суммы производная $6 x - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 8.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 8.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{\frac{2}{3}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 8.4

Умножим $6$ на $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} (6 + \frac{d}{d x} [- 7]) + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 8.5

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} (6 + 0) + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 8.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Добавим $6$ и $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} \cdot 6 + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 8.6.2

Перенесем $6$ влево от $x^{\frac{2}{3}}$ .

$6 \cdot x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 8.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Этап 9

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 10

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 11

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Этап 12.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Этап 13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Этап 14

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Этап 15

Перенесем $x^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + (6 x - 7) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{\frac{2}{3}} + 6 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 16.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Объединим $6$ и $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + x \frac{6 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 16.2.2

Умножим $6$ на $2$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + x \frac{12}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 16.2.3

Объединим $x$ и $\frac{12}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{x \cdot 12}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 16.2.4

Перенесем $12$ влево от $x$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 \cdot x}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 16.2.5

Перенесем $x^{\frac{1}{3}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 x \cdot x^{- \frac{1}{3}}}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 16.2.6

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.6.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 (x^{- \frac{1}{3}} x)}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 16.2.6.2

Умножим $x^{- \frac{1}{3}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 (x^{- \frac{1}{3}} x^{1})}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 16.2.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 x^{- \frac{1}{3} + 1}}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 16.2.6.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}}}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 16.2.6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 x^{\frac{- 1 + 3}{3}}}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 16.2.6.5

Добавим $- 1$ и $3$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{12 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 16.2.7

Вынесем множитель $3$ из $12 x^{\frac{2}{3}}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 (4 x^{\frac{2}{3}})}{3} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 16.2.8

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.8.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 (4 x^{\frac{2}{3}})}{3 (1)} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 16.2.8.2

Сократим общий множитель.

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 (4 x^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 1} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 16.2.8.3

Перепишем это выражение.

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{1} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 16.2.8.4

Разделим $4 x^{\frac{2}{3}}$ на $1$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{2}{3}} - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 16.2.9

Объединим $- 7$ и $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 7 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 16.2.10

Умножим $- 7$ на $2$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 16.2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$6 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{2}{3}} - \frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 16.2.12

Добавим $6 x^{\frac{2}{3}}$ и $4 x^{\frac{2}{3}}$ .

$10 x^{\frac{2}{3}} - \frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}$