Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{\sec (\frac{1}{x})}$

Этап 1

Выразим $\sec (\frac{1}{x})$ через синусы и косинусы.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})}}]$

Этап 2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [1 \cos (\frac{1}{x})]$

Этап 3

Умножим $\cos (\frac{1}{x})$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (\frac{1}{x})]$

Этап 4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 4.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{1}{x}$ .

$- \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$- \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- \sin (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})$

Этап 5.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \sin (\frac{1}{x}) x^{- 2}$

Этап 5.3.2

Умножим $\sin (\frac{1}{x})$ на $1$ .

$\sin (\frac{1}{x}) x^{- 2}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sin (\frac{1}{x}) \frac{1}{x^{2}}$

Этап 6.2

Объединим $\sin (\frac{1}{x})$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\sin (\frac{1}{x})}{x^{2}}$