Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{10 t}{1 + t^{2}}$

Этап 1

Поскольку $10$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{10 t}{1 + t^{2}}$ по $t$ равна $10 \frac{d}{d t} [\frac{t}{1 + t^{2}}]$ .

$10 \frac{d}{d t} [\frac{t}{1 + t^{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = 1 + t^{2}$ .

$10 \frac{(1 + t^{2}) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 \frac{(1 + t^{2}) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 3.2

Умножим $1 + t^{2}$ на $1$ .

$10 \frac{1 + t^{2} - t \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $1 + t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$10 \frac{1 + t^{2} - t (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$10 \frac{1 + t^{2} - t (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$10 \frac{1 + t^{2} - t \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$10 \frac{1 + t^{2} - t (2 t)}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 3.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$10 \frac{1 + t^{2} - 2 t \cdot t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 4

Возведем $t$ в степень $1$ .

$10 \frac{1 + t^{2} - 2 (t^{1} t)}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 5

Возведем $t$ в степень $1$ .

$10 \frac{1 + t^{2} - 2 (t^{1} t^{1})}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$10 \frac{1 + t^{2} - 2 t^{1 + 1}}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 7

Добавим $1$ и $1$ .

$10 \frac{1 + t^{2} - 2 t^{2}}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 8

Вычтем $2 t^{2}$ из $t^{2}$ .

$10 \frac{1 - t^{2}}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 9

Объединим $10$ и $\frac{1 - t^{2}}{{(1 + t^{2})}^{2}}$ .

$\frac{10 (1 - t^{2})}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{10 \cdot 1 + 10 (- t^{2})}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $10$ на $1$ .

$\frac{10 + 10 (- t^{2})}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 10.2.2

Умножим $- 1$ на $10$ .

$\frac{10 - 10 t^{2}}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Этап 10.3

Изменим порядок членов.

$\frac{- 10 t^{2} + 10}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$