Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{10 \log_{4} (x)}{x}$

Этап 1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{10 \log_{4} (x)}{x}$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [\frac{\log_{4} (x)}{x}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\frac{\log_{4} (x)}{x}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \log_{4} (x)$ и $g (x) = x$ .

$10 \frac{x \frac{d}{d x} [\log_{4} (x)] - \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3

Производная $\log_{4} (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x \ln (4)}$ .

$10 \frac{x \frac{1}{x \ln (4)} - \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x \ln (4)}$ .

$10 \frac{\frac{x}{x \ln (4)} - \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель.

$10 \frac{\frac{x}{x \ln (4)} - \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.2.2

Перепишем это выражение.

$10 \frac{\frac{1}{\ln (4)} - \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5

Умножим $\frac{\frac{1}{\ln (4)} - \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ на $\frac{\ln (4)}{\ln (4)}$ .

$10 (\frac{\ln (4)}{\ln (4)} \cdot \frac{\frac{1}{\ln (4)} - \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим.

$10 \frac{\ln (4) (\frac{1}{\ln (4)} - \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x])}{\ln (4) x^{2}}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$10 \frac{\ln (4) \frac{1}{\ln (4)} + \ln (4) (- \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x])}{\ln (4) x^{2}}$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $\ln (4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель.

$10 \frac{\ln (4) \frac{1}{\ln (4)} + \ln (4) (- \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x])}{\ln (4) x^{2}}$

Этап 6.3.2

Перепишем это выражение.

$10 \frac{1 + \ln (4) (- \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x])}{\ln (4) x^{2}}$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 \frac{1 + \ln (4) (- \log_{4} (x) \cdot 1)}{\ln (4) x^{2}}$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$10 \frac{1 + \ln (4) (- \log_{4} (x))}{\ln (4) x^{2}}$

Этап 8.2

Объединим $10$ и $\frac{1 + \ln (4) (- \log_{4} (x))}{\ln (4) x^{2}}$ .

$\frac{10 (1 + \ln (4) (- \log_{4} (x)))}{\ln (4) x^{2}}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{10 \cdot 1 + 10 (\ln (4) (- \log_{4} (x)))}{\ln (4) x^{2}}$

Этап 9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Умножим $10$ на $1$ .

$\frac{10 + 10 (\ln (4) (- \log_{4} (x)))}{\ln (4) x^{2}}$

Этап 9.2.1.2

Умножим $10 (\ln (4) (- \log_{4} (x)))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.2.1

Изменим порядок $\ln (4)$ и $10$ .

$\frac{10 + 10 \cdot \ln (4) (- \log_{4} (x))}{\ln (4) x^{2}}$

Этап 9.2.1.2.2

Упростим $10 \cdot \ln (4)$ путем переноса $10$ под логарифм.

$\frac{10 + \ln (4^{10}) (- \log_{4} (x))}{\ln (4) x^{2}}$

Этап 9.2.1.3

Возведем $4$ в степень $10$ .

$\frac{10 + \ln (1048576) (- \log_{4} (x))}{\ln (4) x^{2}}$

Этап 9.2.2

Изменим порядок множителей в $10 + \ln (1048576) (- \log_{4} (x))$ .

$\frac{10 - \ln (1048576) \log_{4} (x)}{\ln (4) x^{2}}$

Этап 9.3

Изменим порядок членов.

$\frac{- \ln (1048576) \log_{4} (x) + 10}{x^{2} \ln (4)}$