Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x} + {(x + 4)}^{5}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\sqrt{x} + {(x + 4)}^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Этап 2.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Этап 2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 4$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + 4]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + 4]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 4$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 {(x + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 4]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 {(x + 4)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 {(x + 4)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 3.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 {(x + 4)}^{4} (1 + 0)$

Этап 3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 {(x + 4)}^{4} \cdot 1$

Этап 3.6

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 {(x + 4)}^{4}$

Этап 4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 5 {(x + 4)}^{4}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 {(x + 4)}^{4}$

Этап 5.1.2

Чтобы записать $5 {(x + 4)}^{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 {(x + 4)}^{4} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.1.3

Объединим $5 {(x + 4)}^{4}$ и $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5 {(x + 4)}^{4} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + 5 {(x + 4)}^{4} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.1.5

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{1 + 10 {(x + 4)}^{4} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{10 x^{\frac{1}{2}} {(x + 4)}^{4} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$