Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{t} - \frac{1}{\sqrt{t}}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\sqrt{t} - \frac{1}{\sqrt{t}}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [\sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\sqrt{t}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Этап 2.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Этап 2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = - 1$ и $g (t) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}] + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d t} [{(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{- 1}$ и $g (t) = t^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - (- {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 3.5

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - (- {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - (- {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 3.7

Перемножим экспоненты в ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - (- t^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 3.7.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - (- t^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - (- t^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 3.8

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 3.9

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 3.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 3.11.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 3.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 3.13

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - (- t^{- 1} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 3.14

Объединим $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $t^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - - \frac{t^{- \frac{1}{2}} t^{- 1}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 3.15

Умножим $t^{- \frac{1}{2}}$ на $t^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - - \frac{t^{- \frac{1}{2} - 1}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 3.15.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - - \frac{t^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 3.15.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - - \frac{t^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 3.15.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - - \frac{t^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 3.15.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - - \frac{t^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 3.15.5.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - - \frac{t^{\frac{- 3}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 3.15.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - - \frac{t^{- \frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 3.16

Перенесем $t^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} - - \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 3.17

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + 1 \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 3.18

Умножим $\frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 3.19

Умножим $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ на $0$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}} + 0$

Этап 3.20

Добавим $\frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$ и $0$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$