Математический анализ Примеры

$f (x) = \log_{3} (x + \sqrt{x})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\log_{3} (x + x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \log_{3} (x)$ и $g (x) = x + x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{3} (u)] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Производная $\log_{3} (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u \ln (3)}$ .

$\frac{1}{u \ln (3)} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x + x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 10

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x \ln (3) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 11.2

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{x \ln (3) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$(1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x \ln (3) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3)}$

Этап 11.3

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}} \ln (3)$ из $x \ln (3) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}} \ln (3)$ из $x \ln (3)$ .

$(1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3)}$

Этап 11.3.2

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}} \ln (3)$ из $x^{\frac{1}{2}} \ln (3)$ .

$(1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (1)}$

Этап 11.3.3

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}} \ln (3)$ из $x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (1)$ .

$(1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$

Этап 11.4

Умножим $1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$ .

$\frac{1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$

Этап 11.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$

Этап 11.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$

Этап 11.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$

Этап 11.7

Умножим $\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.1

Умножим $\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Этап 11.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Этап 11.7.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Этап 11.7.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{2}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Этап 11.7.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{2}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Этап 11.7.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{1} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Этап 11.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.1

Перепишем.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Этап 11.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Этап 11.8.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Этап 11.8.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{2}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Этап 11.8.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{2}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Этап 11.8.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{1} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Этап 11.8.6

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{1} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$

Этап 11.8.7

Упростим.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$