Математический анализ Примеры

$f (x) = e^{\frac{- 3}{x^{2}}}$

Этап 1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{3}{x^{2}}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - \frac{3}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- \frac{3}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- \frac{3}{x^{2}}$ .

$e^{- \frac{3}{x^{2}}} \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{2}}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3}{x^{2}}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$e^{- \frac{3}{x^{2}}} (- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

Этап 3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$e^{- \frac{3}{x^{2}}} (- 3 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}])$

Этап 3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{- \frac{3}{x^{2}}} (- 3 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}])$

Этап 3.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{- \frac{3}{x^{2}}} (- 3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$e^{- \frac{3}{x^{2}}} (- 3 (- 2 x^{- 3}))$

Этап 3.4

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$e^{- \frac{3}{x^{2}}} (6 x^{- 3})$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{- \frac{3}{x^{2}}} (6 \frac{1}{x^{3}})$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$e^{- \frac{3}{x^{2}}} \frac{6}{x^{3}}$

Этап 4.2.2

Объединим $e^{- \frac{3}{x^{2}}}$ и $\frac{6}{x^{3}}$ .

$\frac{e^{- \frac{3}{x^{2}}} \cdot 6}{x^{3}}$

Этап 4.2.3

Перенесем $6$ влево от $e^{- \frac{3}{x^{2}}}$ .

$\frac{6 e^{- \frac{3}{x^{2}}}}{x^{3}}$