Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{\ln (1 + x^{2})}{\arctan (x)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \ln (1 + x^{2})$ и $g (x) = \arctan (x)$ .

$\frac{\arctan (x) \frac{d}{d x} [\ln (1 + x^{2})] - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + x^{2}$ .

$\frac{\arctan (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Этап 2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\arctan (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + x^{2}$ .

$\frac{\arctan (x) (\frac{1}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{1 + x^{2}}$ и $\arctan (x)$ .

$\frac{\frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Этап 3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Этап 3.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} (2 x) - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Этап 3.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Объединим $2$ и $\frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \arctan (x)}{1 + x^{2}} x - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Этап 3.6.2

Объединим $\frac{2 \arctan (x)}{1 + x^{2}}$ и $x$ .

$\frac{\frac{2 \arctan (x) x}{1 + x^{2}} - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Этап 4

Умножим $\frac{\frac{2 \arctan (x) x}{1 + x^{2}} - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$ на $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{\frac{2 \arctan (x) x}{1 + x^{2}} - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим.

$\frac{(1 + x^{2}) (\frac{2 \arctan (x) x}{1 + x^{2}} - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{2 \arctan (x) x}{1 + x^{2}} + (1 + x^{2}) (- \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{2 \arctan (x) x}{1 + x^{2}} + (1 + x^{2}) (- \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \arctan (x) x + (1 + x^{2}) (- \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

Этап 6

Производная $\arctan (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{2 \arctan (x) x + (1 + x^{2}) (- \ln (1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{1 + x^{2}}$ и $\ln (1 + x^{2})$ .

$\frac{2 \arctan (x) x + (1 + x^{2}) (- \frac{\ln (1 + x^{2})}{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \arctan (x) x + (1 + x^{2}) (- \frac{\ln (1 + x^{2})}{1 + x^{2}})}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

Этап 8.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\ln (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$ в числитель.

$\frac{2 \arctan (x) x + (1 + x^{2}) \frac{- \ln (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \arctan (x) x + (1 + x^{2}) \frac{- \ln (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

Этап 8.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \arctan (x) x - \ln (1 + x^{2})}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

Этап 8.2.2

Изменим порядок множителей в $2 \arctan (x) x - \ln (1 + x^{2})$ .

$\frac{2 x \arctan (x) - \ln (1 + x^{2})}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

Этап 8.3

Умножим ${\arctan (x)}^{2}$ на $1$ .

$\frac{2 x \arctan (x) - \ln (1 + x^{2})}{{\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

Этап 8.4

Вынесем множитель ${\arctan (x)}^{2}$ из ${\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Умножим на $1$ .

$\frac{2 x \arctan (x) - \ln (1 + x^{2})}{{\arctan (x)}^{2} \cdot 1 + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

Этап 8.4.2

Вынесем множитель ${\arctan (x)}^{2}$ из $x^{2} {\arctan (x)}^{2}$ .

$\frac{2 x \arctan (x) - \ln (1 + x^{2})}{{\arctan (x)}^{2} \cdot 1 + {\arctan (x)}^{2} x^{2}}$

Этап 8.4.3

Вынесем множитель ${\arctan (x)}^{2}$ из ${\arctan (x)}^{2} \cdot 1 + {\arctan (x)}^{2} x^{2}$ .

$\frac{2 x \arctan (x) - \ln (1 + x^{2})}{{\arctan (x)}^{2} (1 + x^{2})}$