Математический анализ Примеры

$f (x) = 5^{3} \sqrt{x^{4}} + \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{3 x^{3}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\frac{d}{d x} [125 \sqrt{x^{4}} + \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{3 x^{3}}]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $125 \sqrt{x^{4}} + \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{3 x^{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [125 \sqrt{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [125 \sqrt{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [125 \sqrt{x^{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{4}}$ в виде $x^{\frac{4}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [125 x^{\frac{4}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Этап 2.2

Разделим $4$ на $2$ .

$\frac{d}{d x} [125 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Этап 2.3

Поскольку $125$ является константой относительно $x$ , производная $125 x^{2}$ по $x$ равна $125 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$125 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$125 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Этап 2.5

Умножим $2$ на $125$ .

$250 x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{x^{2}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$250 x + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$250 x + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2}$ .

$250 x + 2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$250 x + 2 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$250 x + 2 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$250 x + 2 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Этап 3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$250 x + 2 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$250 x + 2 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Этап 3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$250 x + 2 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Этап 3.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$250 x + 2 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Этап 3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$250 x + 2 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Этап 3.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$250 x + 2 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Этап 3.10

Умножим $- 2$ на $2$ .

$250 x - 4 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- \frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{3 x^{3}}$ по $x$ равна $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Этап 4.2

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Этап 4.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{3}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 4.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{3}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Этап 4.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Этап 4.5.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Этап 4.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Этап 4.7

Умножим $x^{- 6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Перенесем $x^{2}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Этап 4.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- 3 x^{2 - 6})$

Этап 4.7.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- 3 x^{- 4})$

Этап 4.8

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$250 x - 4 x^{- 3} + 3 (\frac{1}{3}) x^{- 4}$

Этап 4.9

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} + \frac{3}{3} x^{- 4}$

Этап 4.10

Объединим $\frac{3}{3}$ и $x^{- 4}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} + \frac{3 x^{- 4}}{3}$

Этап 4.11

Перенесем $x^{- 4}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} + \frac{3}{3 x^{4}}$

Этап 4.12

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Сократим общий множитель.

$250 x - 4 x^{- 3} + \frac{3}{3 x^{4}}$

Этап 4.12.2

Перепишем это выражение.

$250 x - 4 x^{- 3} + \frac{1}{x^{4}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$250 x - 4 \frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$

Этап 5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$250 x + \frac{- 4}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$

Этап 5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$250 x - \frac{4}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$