Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{72}{5} + \frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{72}{5} + \frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{72}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{72}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}]$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{72}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{72}{5}$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{48}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}$ по $x$ равна $\frac{48}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}]$ .

$0 + \frac{48}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}$ в виде ${({(3 x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$0 + \frac{48}{5} \frac{d}{d x} [{({(3 x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = {(3 x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(3 x + 1)}^{2}$ .

$0 + \frac{48}{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{2}])$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{2}])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(3 x + 1)}^{2}$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{2}])$

Этап 2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x + 1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [3 x + 1]))$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [3 x + 1]))$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x + 1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x + 1]))$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $3 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])))$

Этап 2.6

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])))$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])))$

Этап 2.8

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) (3 \cdot 1 + 0)))$

Этап 2.9

Перемножим экспоненты в ${({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{2 \cdot - 2} (2 (3 x + 1) (3 \cdot 1 + 0)))$

Этап 2.9.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{- 4} (2 (3 x + 1) (3 \cdot 1 + 0)))$

Этап 2.10

Умножим $3$ на $1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{- 4} (2 (3 x + 1) (3 + 0)))$

Этап 2.11

Добавим $3$ и $0$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{- 4} (2 (3 x + 1) \cdot 3))$

Этап 2.12

Умножим $3$ на $2$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{- 4} (6 (3 x + 1)))$

Этап 2.13

Умножим $6$ на $- 1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- 6 {(3 x + 1)}^{- 4} (3 x + 1))$

Этап 2.14

Возведем $3 x + 1$ в степень $1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- 6 ({(3 x + 1)}^{1} {(3 x + 1)}^{- 4}))$

Этап 2.15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$0 + \frac{48}{5} (- 6 {(3 x + 1)}^{1 - 4})$

Этап 2.16

Вычтем $4$ из $1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- 6 {(3 x + 1)}^{- 3})$

Этап 2.17

Объединим $- 6$ и $\frac{48}{5}$ .

$0 + \frac{- 6 \cdot 48}{5} {(3 x + 1)}^{- 3}$

Этап 2.18

Умножим $- 6$ на $48$ .

$0 + \frac{- 288}{5} {(3 x + 1)}^{- 3}$

Этап 2.19

Объединим $\frac{- 288}{5}$ и ${(3 x + 1)}^{- 3}$ .

$0 + \frac{- 288 {(3 x + 1)}^{- 3}}{5}$

Этап 2.20

Перенесем ${(3 x + 1)}^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{- 288}{5 {(3 x + 1)}^{3}}$

Этап 2.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 - \frac{288}{5 {(3 x + 1)}^{3}}$

Этап 3

Вычтем $\frac{288}{5 {(3 x + 1)}^{3}}$ из $0$ .

$- \frac{288}{5 {(3 x + 1)}^{3}}$