Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{\frac{1}{7}} {(x - 1)}^{2}$

Этап 1

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}} ((x - 1) (x - 1))]$

Этап 2

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}} (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Этап 3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}} (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Этап 3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}} (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Этап 3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}} (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Этап 3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}} (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

Этап 3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}} (x^{2} - x - x + 1)]$

Этап 3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}} (x^{2} - 2 x + 1)]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{7}}$ и $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

$x^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x^{\frac{1}{7}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{\frac{1}{7}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$

Этап 5.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{1}{7}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$

Этап 5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{7}} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$

Этап 5.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$x^{\frac{1}{7}} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$

Этап 5.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{\frac{1}{7}} (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$

Этап 5.7

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$x^{\frac{1}{7}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{7}}]$

Этап 5.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{7}$ .

$x^{\frac{1}{7}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1})$

Этап 6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$x^{\frac{1}{7}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

Этап 7

Объединим $- 1$ и $\frac{7}{7}$ .

$x^{\frac{1}{7}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{1}{7}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{7} x^{\frac{1 - 1 \cdot 7}{7}})$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $7$ .

$x^{\frac{1}{7}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{7} x^{\frac{1 - 7}{7}})$

Этап 9.2

Вычтем $7$ из $1$ .

$x^{\frac{1}{7}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{7} x^{\frac{- 6}{7}})$

Этап 10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{\frac{1}{7}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{7} x^{- \frac{6}{7}})$

Этап 11

Объединим $\frac{1}{7}$ и $x^{- \frac{6}{7}}$ .

$x^{\frac{1}{7}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{x^{- \frac{6}{7}}}{7}$

Этап 12

Перенесем $x^{- \frac{6}{7}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{7}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{\frac{1}{7}} (2 x) + x^{\frac{1}{7}} \cdot - 2 + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{\frac{1}{7}} (2 x) + x^{\frac{1}{7}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Умножим $x^{\frac{1}{7}}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1.1

Перенесем $x$ .

$x \cdot x^{\frac{1}{7}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{7}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.1.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{7}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{\frac{1}{7}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{7}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + \frac{1}{7}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{7}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.1.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$x^{\frac{7}{7} + \frac{1}{7}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{7}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{7 + 1}{7}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{7}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.1.5

Добавим $7$ и $1$ .

$x^{\frac{8}{7}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{7}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.2

Перенесем $2$ влево от $x^{\frac{8}{7}}$ .

$2 \cdot x^{\frac{8}{7}} + x^{\frac{1}{7}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.3

Перенесем $- 2$ влево от $x^{\frac{1}{7}}$ .

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 \cdot x^{\frac{1}{7}} + x^{2} \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.4

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$ .

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{2}}{7 x^{\frac{6}{7}}} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.5

Перенесем $x^{\frac{6}{7}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{2} x^{- \frac{6}{7}}}{7} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.6

Умножим $x^{2}$ на $x^{- \frac{6}{7}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.6.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{2 - \frac{6}{7}}}{7} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.6.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{2 \cdot \frac{7}{7} - \frac{6}{7}}}{7} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.6.3

Объединим $2$ и $\frac{7}{7}$ .

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{2 \cdot 7}{7} - \frac{6}{7}}}{7} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{2 \cdot 7 - 6}{7}}}{7} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.6.5.1

Умножим $2$ на $7$ .

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{14 - 6}{7}}}{7} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.6.5.2

Вычтем $6$ из $14$ .

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{8}{7}}}{7} - 2 x \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.7

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$ .

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{8}{7}}}{7} + x \frac{- 2}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.8

Объединим $x$ и $\frac{- 2}{7 x^{\frac{6}{7}}}$ .

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{8}{7}}}{7} + \frac{x \cdot - 2}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.9

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{8}{7}}}{7} + \frac{- 2 \cdot x}{7 x^{\frac{6}{7}}} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.10

Перенесем $x^{\frac{6}{7}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{8}{7}}}{7} + \frac{- 2 x \cdot x^{- \frac{6}{7}}}{7} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.11

Умножим $x$ на $x^{- \frac{6}{7}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.11.1

Перенесем $x^{- \frac{6}{7}}$ .

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{8}{7}}}{7} + \frac{- 2 (x^{- \frac{6}{7}} x)}{7} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.11.2

Умножим $x^{- \frac{6}{7}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.11.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{8}{7}}}{7} + \frac{- 2 (x^{- \frac{6}{7}} x^{1})}{7} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{8}{7}}}{7} + \frac{- 2 x^{- \frac{6}{7} + 1}}{7} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.11.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{8}{7}}}{7} + \frac{- 2 x^{- \frac{6}{7} + \frac{7}{7}}}{7} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.11.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{8}{7}}}{7} + \frac{- 2 x^{\frac{- 6 + 7}{7}}}{7} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.11.5

Добавим $- 6$ и $7$ .

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{8}{7}}}{7} + \frac{- 2 x^{\frac{1}{7}}}{7} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{8}{7}}}{7} - \frac{2 x^{\frac{1}{7}}}{7} + 1 \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.13

Умножим $\frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$ на $1$ .

$2 x^{\frac{8}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{x^{\frac{8}{7}}}{7} - \frac{2 x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.14

Чтобы записать $2 x^{\frac{8}{7}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$- 2 x^{\frac{1}{7}} + 2 x^{\frac{8}{7}} \cdot \frac{7}{7} + \frac{x^{\frac{8}{7}}}{7} - \frac{2 x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.15

Объединим $2 x^{\frac{8}{7}}$ и $\frac{7}{7}$ .

$- 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{2 x^{\frac{8}{7}} \cdot 7}{7} + \frac{x^{\frac{8}{7}}}{7} - \frac{2 x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{2 x^{\frac{8}{7}} \cdot 7 + x^{\frac{8}{7}}}{7} - \frac{2 x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.17

Умножим $7$ на $2$ .

$- 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{14 x^{\frac{8}{7}} + x^{\frac{8}{7}}}{7} - \frac{2 x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.18

Добавим $14 x^{\frac{8}{7}}$ и $x^{\frac{8}{7}}$ .

$- 2 x^{\frac{1}{7}} + \frac{15 x^{\frac{8}{7}}}{7} - \frac{2 x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.19

Чтобы записать $- 2 x^{\frac{1}{7}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$- 2 x^{\frac{1}{7}} \cdot \frac{7}{7} - \frac{2 x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{15 x^{\frac{8}{7}}}{7} + \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.20

Объединим $- 2 x^{\frac{1}{7}}$ и $\frac{7}{7}$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{7}} \cdot 7}{7} - \frac{2 x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{15 x^{\frac{8}{7}}}{7} + \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.21

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{7}} \cdot 7 - 2 x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{15 x^{\frac{8}{7}}}{7} + \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.22

Умножим $7$ на $- 2$ .

$\frac{- 14 x^{\frac{1}{7}} - 2 x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{15 x^{\frac{8}{7}}}{7} + \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.23

Вычтем $2 x^{\frac{1}{7}}$ из $- 14 x^{\frac{1}{7}}$ .

$\frac{- 16 x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{15 x^{\frac{8}{7}}}{7} + \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.3.24

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{16 x^{\frac{1}{7}}}{7} + \frac{15 x^{\frac{8}{7}}}{7} + \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}}$

Этап 13.4

Изменим порядок членов.

$\frac{15 x^{\frac{8}{7}}}{7} + \frac{1}{7 x^{\frac{6}{7}}} - \frac{16 x^{\frac{1}{7}}}{7}$