Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} + 12 x^{5} - 4 x^{4} + 10 x^{3} - 6 x + 5$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 12 x^{5} - 4 x^{4} + 10 x^{3} - 6 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [12 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{5}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$2 x + 12 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$2 x + 12 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.3

Умножим $5$ на $12$ .

$2 x + 60 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{4}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 x + 60 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$2 x + 60 x^{4} - 4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 3.3

Умножим $4$ на $- 4$ .

$2 x + 60 x^{4} - 16 x^{3} + \frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x^{3}$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x + 60 x^{4} - 16 x^{3} + 10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 x + 60 x^{4} - 16 x^{3} + 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.3

Умножим $3$ на $10$ .

$2 x + 60 x^{4} - 16 x^{3} + 30 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 60 x^{4} - 16 x^{3} + 30 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 60 x^{4} - 16 x^{3} + 30 x^{2} - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 5.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$2 x + 60 x^{4} - 16 x^{3} + 30 x^{2} - 6 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 6

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 60 x^{4} - 16 x^{3} + 30 x^{2} - 6 + 0$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $2 x + 60 x^{4} - 16 x^{3} + 30 x^{2} - 6$ и $0$ .

$2 x + 60 x^{4} - 16 x^{3} + 30 x^{2} - 6$

Этап 7.2

Изменим порядок членов.

$60 x^{4} - 16 x^{3} + 30 x^{2} + 2 x - 6$