Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} (2 e^{x^{2}})$

Этап 1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $x^{2} (2 e^{x^{2}})$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2} (e^{x^{2}})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} (e^{x^{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$2 (x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 (x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$2 (x^{2} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (x^{2} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем $x$ .

$2 (x \cdot x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{1} x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 (x^{1 + 2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$2 (x^{3} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 6

Перенесем $2$ влево от $e^{x^{2}}$ .

$2 (x^{3} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x))$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x^{3} (2 e^{x^{2}})) + 2 (e^{x^{2}} (2 x))$

Этап 8.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 (x^{3} (e^{x^{2}})) + 2 (e^{x^{2}} (2 x))$

Этап 8.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x^{3} e^{x^{2}} + 4 e^{x^{2}} x$

Этап 8.3

Изменим порядок членов.

$4 e^{x^{2}} x^{3} + 4 e^{x^{2}} x$

Этап 8.4

Изменим порядок множителей в $4 e^{x^{2}} x^{3} + 4 e^{x^{2}} x$ .

$4 x^{3} e^{x^{2}} + 4 x e^{x^{2}}$